Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 8 Prof. Dr. E. Kuwert 4. Dezember 2001

Aufgabe 1 (Wurzelziehen in ℂ) Entwerfen Sie ein Programm, dass für jede komplexe Zahl c = a+ib ∈ ℂ eine Lösung z = x + iy der Gleichung z^{2} = c berechnet.

Aufgabe 2 (Rechnen mit komplexen Zahlen)

(1) Schreiben Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form a + ib mit a, b ∈ ℝ:

\frac{1}{1 + i}, \frac{1 − i}{1 + i}, \frac{2 − i}{2 − 3i}, \frac{1}{(3 − i)^{2}} , \frac{(1 + i)^{5}}{(1 − i)^{3}} , (\frac{−1 + i\sqrt{3}}{2})^{3} ,

(i − 1)(3 − i), i^{n} (n ∈ ℤ), (1 + i)^{n} (n ∈ ℤ).

(2) Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ ℂ der Gleichung z^{6} = 1 und fertigen Sie eine Zeichnung an.

Aufgabe 3 (Normen auf ℝ^{n}) Für x = (x^{1}, …, x^{n}) ∈ ℝ^{n} definieren wir Funktionen || · ||_{1}, || · ||_{∞} : ℝ^{n} → ℝ durch

||x||_{1} := |x^{1}| + … + |x^{n}| = ∑_{i=1}^{n} |x^{i}|, und ||x||_{∞} := max_{1≤i≤n} |x^{i}|.

Weisen Sie für beide Funktionen die Normeigenschaften (vgl. Skript Lemma 5.5) nach. Skizzieren Sie die ”Einheitskugeln” {x ∈ ℝ^{n} : ||x||_{1} < 1} und {x ∈ ℝ^{n} : ||x||_{∞} < 1} für n = 1, 2, 3.

Aufgabe 4 (Maximum und Minimum) Die Zahl a ∈ ℝ heißt Minimum der Menge M ⊂ ℝ (Notation a = min M), wenn gilt:

a ∈ M und a ≤ x für alle x ∈ M.

Entsprechend ist max M definiert. Beweisen Sie, dass eine abgeschlossene und beschränkte Menge ein Minimum und ein Maximum besitzt.

Spielecke. Sei D_{0} ⊂ ℝ^{2} die abgeschlossene Dreiecksfläche mit den Eckpunkten (0, 0), (1, 0) und (1/2, \sqrt{3}/2). Es werden rekursiv D_{0}, D_{1}, D_{2}, … wie folgt definiert:

D_{n+1} = \frac{1}{3}D_{n} ∪ [(\frac{2}{3}, 0) + \frac{1}{3}D_{n}] ∪ [(\frac{1}{3}, \frac{1}{\sqrt{3}}) + \frac{1}{3}D_{n}].

Dabei ist (a, b) + \frac{1}{3}D_{n} := \{(a + \frac{1}{3}x, b + \frac{1}{3}y) : (x, y) ∈ D_{n}\} für (a, b) ∈ ℝ^{2}. Zeichnen Sie D_{0}, D_{1} und D_{2} und zeigen Sie D_{0} ⊃ D_{1} ⊃ D_{2} ⊃ . . .. Welche Dimension könnte D := ⋂_{n=0}^{∞} D_{n} haben?

Abgabe ist am Montag, 10.12.2001 bis 10:15.