Übungsaufgaben zur Analysis I WS 01/02, Serie 9 Prof. Dr. E. Kuwert 11. Dezember 2001

Aufgabe 1 (Stetigkeit der Potenzfunktionen f(x) = x^{n}) Sei n ∈ ℕ. Zeigen Sie anhand der in der Vorlesung gegebenen Definition, dass die Funktion f : ℝ → ℝ, f(x) = x^{n} stetig ist. Was ändert sich am Beweis für f : ℂ → ℂ, f(z) = z^{n}?

Aufgabe 2 (Stetigkeitspunkte) Beantworten Sie die folgende Frage fuer Teil (a) oder (b) (Ihre Wahl). An welchen Stellen ist die Funktion stetig bzw. unstetig?

(a) f : ℝ → ℝ, f(x) = \{ \begin{matrix}x [\frac{1}{x}] & für x ≠ 0 \\ 1 & für x = 0. \end{matrix}

(b) f : [0, 1] → ℝ, f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{1}{q} für x = \frac{p}{q}, mit q ∈ ℕ, p ∈ ℕ teilerfremd , \\ 0, für x ∈ ℝ − ℚ. \end{matrix}

Aufgabe 3 (Dichte Teilmengen und Stetigkeit) Seien f, g ∈ C^{0}(ℝ) mit f(x) = g(x) für alle x ∈ ℚ. Zeigen Sie f = g, also f(x) = g(x) für alle x ∈ ℝ.

Aufgabe 4 (Abstandsfunktionen) Die Abstandsfunktion einer Menge M ⊂ ℝ^{n} ist definiert durch

dist_{M} : ℝ^{n} → ℝ, x ↦ dist_{M}(x) = inf{|x − y| : y ∈ M}.

Zeigen Sie, dass dist_{M} Lipschitzstetig mit Konstante L = 1 ist.

Spielecke. Hier geht es noch einmal um Cantorartige Konstruktionen. Sei C ⊂ [0, 1] die Cantormenge. Die Cantorfunktion f : [0, 1] → ℝ wird in zwei Schritten wie folgt definiert:

1. Für x ∈ C, x = ∑_{i=1}^{∞} k_{i} 3^{−i} mit k_{i} ∈ \{0, 2\}, ist f(x) := ∑_{i=1}^{∞} \frac{k_{i}}{2} 2^{−i}.

2. Für x ∉ C ist dann weiter f(x) := sup{f(ξ) : ξ ∈ C, ξ ≤ x}.

Beweisen Sie die Abschätzung |f(x) − f(y)| ≤ 2 |x − y|^{log_{3} 2} und folgern Sie, dass die Cantorfunktion stetig ist.

Bitte schreiben Sie Ihre(n) Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Montag, 17.12.2001 bis 10:15.