MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 13.10.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 1. Übung

\underline{AUFGABE 1:} Es sei {q_{k}} = Q I ∩ [0, 1] eine Abzählung der rationalen Zahlen in [0, 1] , und I_{k} := ]q_{k} − 2^{−k}ε, q_{k} + 2^{−k}ε[ ∩ ]0, 1[ . Zeigen Sie, daß I := ∪_{k=1}^{∞}I_{k} eine offene, beschränkte Menge ist, die nicht quadrierbar ist, wenn ε < \frac{1}{2} . \underline{AUFGABE 2:} Es sei f : A → \overline{IR} . Zeigen Sie die folgenden Aussagen.

(i) ∑_{x∈A} f(x) ist definiert und reell genau dann, wenn ∑_{x∈A} |f(x)| < ∞ .

(ii) Falls ∑_{x∈A} f(x) ∈ IR , so sind nur abzählbar viele f(x) von Null verschieden.

(iii) Es sei ∑_{x∈A} f(x) ∈ \overline{IR} und A_{i} ⊂ A_{i+1} ⊂ A eine Folge mit ∪_{i=1}^{∞}A_{i} = A . Dann gilt

∑_{x∈A} f(x) = lim_{i→∞} ∑_{x∈A_{i}} f(x) .

\underline{AUFGABE 3:} Zeigen Sie, daß sich jede offene Menge Ω ⊂ IR^{n} als Vereinigung Ω = ∪_{j=1}^{∞}I_{j} von Würfeln mit paarweise disjunktem Inneren schreiben läßt. Ist Ω zusammenhängend, so zeigen Sie weiter, daß die I_{j} so gewählt werden können, daß ∪_{j=1}^{N}I_{j} für alle N zusammenhängend sind. \underline{AUFGABE 4:}

Das Cantorsche Diskontinuum ist definiert durch C := {a = ∑_{n=1}^{∞} a_{n}3^{−n} | a_{n} ∈ {0, 2} } ⊂

[0, 1] . Zeigen Sie die folgenden Aussagen.

(i) C ist abgeschlossen und hat keine inneren Punkte. Weiter ist jeder Punkt in C ein Häufungspunkt von C , d.h. C ist perfekt.

(ii) Für Teilmengen A ⊂ IR sei der Operator T (A) := \frac{1}{3}A ∪ (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}A) definiert. Hier bedeutet \frac{1}{3}A eine Streckung um den Faktor \frac{1}{3} und \frac{2}{3} +A eine Verschiebung um \frac{2}{3} . Es sei C_{0} := [0, 1] und C_{n} := T (C_{n−1}) . Dann gilt C_{n} ⊂ C_{n−1} und C := ∩_{n=1}^{∞}C_{n} .

(iii) Berechnen Sie die Intervallängen |C_{n}| , und zeigen Sie |C_{n}| → 0 .

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 20.10.1997, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.