MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 22.12.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 10.Übung

\underline{AUFGABE 39:} Im folgenden sei f eine 2π−periodische Funktion, die auf (−π, π) angegeben ist. Berechnen Sie die Fourierreihe und verifizieren Sie damit die Grenzwerte der Reihen.

(a) f(x) := x^{2} für x ∈ (−π, π) .

\frac{π^{2}}{6} = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} .

(b) f(x) := x sin(x) für x ∈ (−π, π) .

\frac{1}{4} = ∑_{n=2}^{∞}(−1)^{n} \frac{1}{n^{2} − 1}.

\underline{AUFGABE 40:} Im folgenden seien f, g ∈ L^{2}(IR/(2π)) . Zeigen Sie folgende Aussagen.

(a) Ist f stetig differenzierbar, so konvergiert seine Fourierreihe gleichmäßig gegen f .

(b) Für α < β ∈ IR gilt

∫_{α}^{β} f(x) g(x) dx = ∫_{α}^{β} \frac{a_{0}}{2} g(x) dx + ∑_{n=1}^{∞} ∫_{α}^{β}(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)) g(x) dx,

wobei a_{n}, b_{n} die Fourierkoeffizienten von f sind.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 12.1.1998, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.