MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 7.1.1998 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 11.Übung

\underline{AUFGABE 41:} Es sei μ ein Maß, f ∈ L^{1}(μ) nicht-negativ und α > 0 . Zeigen Sie

α ∫_{τ}^{∞}t^{α−1}μ([f > t])dt = ∫_{[f>τ]} (f(x)^{α} − τ^{α})dμ(x).

Zeigen Sie dabei insbesondere, daß die Funktion t ↦ μ([f > t]) bezüglich des Lebesgue-Maßes meßbar ist. Dabei bezeichnet [f > t] := {x | f(x) > t } . \underline{AUFGABE 42:}

(i) Es sei B ⊂ IR^{n−1} ein bezüglich des Lebesgue-Maßes meßbare Menge und h > 0 . Der Kegel mit Höhe h zur Basis B ist definiert durch

K = K(B, h) := \{(y, t) ∈ IR^{n−1} × IR | t ∈ [0, h], y ∈ (1 − \frac{t}{h})B \}.

Zeigen Sie, daß K bezüglich des Lebesgue-Maßes meßbar ist, und daß

v_{n}(K) = \frac{h}{n}v_{n−1}(B).

(ii) Für n+1 linear unabhängige Punkte a_{0}, …, a_{n} ∈ IR^{n} , d.h a_{n}−a_{0}, …, a_{1}−a_{0} sind linear unabhängig, heißt S = [a_{0}, …, a_{n}] := conv(a_{0}, …, a_{n}) der von a_{0}, …, a_{n} erzeugte n-Simplex, wobei conv die konvexe Hülle bezeichnet. Nach einer geeigneten Translation und Rotation kann ein n-Simplex als Kegel aufgefaßt werden, dessen Basis ein (n-1)-Simplex ist. Zeigen Sie, daß

v_{n}([a_{0}, …, a_{n}]) = \frac{1}{n!}|det(a_{n} − a_{0}, …, a_{1} − a_{0})|.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 12.1.1998, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.