MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 12.1.1998 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 12.Übung

\underline{AUFGABE 43:}

Für f ∈ L^{1}(IR^{n}, CI) heißt f̂: IR^{n} → CI , mit f̂(ξ) := \frac{1}{(2π)^{\frac{n}{2}}} \begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} f(x) exp(−i⟨x, ξ⟩)dx die

Fouriertransformierte von f . Zeigen Sie folgende Aussagen.

(a) ( ∫ ; IR e^{−x^{2}}dx)^{2} = ∫ ; IR e^{−(x^{2}+y^{2})}d(x, y) und berechnen Sie das zweite Integral durch

Transformation auf Polarkoordinaten.

(b) Berechnen Sie die Fouriertransformierte von f(x) := exp(−\frac{|x|^{2}}{2} ) .

\underline{AUFGABE 44:} Es seien f, g ∈ L^{1}(IR^{n}) . Zeigen Sie, daß für L^{n}−fast alle y ∈ IR^{n} die Funktion (f ∗ g)(y) := \begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} f(x)g(y − x)dx definiert ist, und daß f ∗ g ∈ L^{1}(IR^{n}) gilt. Zeigen Sie

weiter, daß f̂ ∗ g = (2π)^{\frac{n}{2}} f̂ĝ . \underline{AUFGABE 45:} Es sei Φ : IR^{n} → IR^{n} eine stetige Abbildung, und μ ein endliches Radonmaß auf IR^{n} . Durch Φ_{∗}(μ)(A) := μ(Φ^{−1}(A)) ist das Bildmaß definiert, siehe Aufagbe 2. Zeigen Sie für Φ_{∗}(μ)−meßbares f : IR^{n} → IR , daß f ∈ L^{1}(Φ_{∗}(μ)) genau dann, wenn f ∘ Φ ∈ L^{1}(μ) . Verifizieren Sie in diesem Fall

∫ fdΦ_{∗}(μ) = ∫ f ∘ Φdμ.

Was besagt der Transformationssatz über das Bildmaß eines Diffeomorphismus ? \underline{AUFGABE 46:} Berechnen Sie folgende Integrale.

(a) Der Schwerpunkt einer meßbaren, beschränkten Menge B ⊂ IR^{n}, L^{n}(B) ≠ 0 , ist gegeben durch

x̄ := \frac{1}{L^{n}(B)} ∫_{B} xdx.

Zeigen Sie, daß x̄ das Integral I(y) := ∫_{B} |x − y|^{2}dx minimiert. Berechnen Sie den

Schwerpunkt des Kugeloktanten B := \{(x, y, z) ∈ \overline{B_{1}(0)} | x, y, z ≥ 0 \} .

(b) Es sei B ⊂ IR^{2} , wie in (a). Betrachten Sie A := \{(x, y, z) ∈ IR^{3} | (\sqrt{x^{2} + y^{2}}, z) ∈

B } . Zeigen Sie

L^{3}(A) = 2πȳL^{2}(B),

wobei (ȳ, z̄) der Schwerpunkt von B ist.

(c) ∫_{S} x^{n} y^{m}d(x, y) , wobei S = [(0, 0), (0, 1), (1, 0)] der Einheitssimplex ist, siehe Auf-

gabe 42.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 19.1.1998, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.