MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 19.1.1998 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 13.Übung

\underline{AUFGABE 47:} Betrachten Sie auf U ⊂ IR^{n} eine Riemannsche Metrik g(x)(X, Y) = φ(x)^{2}⟨X, Y ⟩ mit φ ∈ C^{2}(U, IR^{+}) . Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Δ_{g}u = \frac{1}{φ^{2}} (Δu + \frac{n−2}{φ}⟨grad u, grad φ⟩) .

(ii) Δ(φ^{\frac{n−2}{2}} ) = 0 ⇒ Δ(φ^{\frac{n−2}{2}} u) = φ^{\frac{n+2}{2}} Δ_{g}u .

(iii) Ist Φ : U → V, Φ(x) = \frac{x}{|x|^{2}} , und v ∈ C^{2}(V) , so gilt

(Δv) ∘ Φ = |x|^{2+n}Δ(|x|^{2−n}(v ∘ Φ)).

Insbesondere: wenn v harmonisch ist, so ist |x|^{2−n}(v ∘ Φ) auch harmonisch.

\underline{AUFGABE 48:} Es sei B_{r} := {x ∈ IR^{3} : |x| < r } und μ ∈ L^{1}(B_{R} ∼ B_{ϱ}, IR^{+}) für 0 < ϱ < R eine rotationssymmetrische Massenverteilung, d.h. μ(T x) = μ(x) für alle T ∈ SO(IR^{3}) . Zeigen Sie

∫_{B_{R}∼B_{ϱ}} \frac{μ(y)}{|x − y|}dy = \{ \begin{matrix}konstant & falls |x| < ϱ, \\ \frac{m}{|x|} & falls |x| > R. \end{matrix}

Dabei ist m = ∫_{B_{R}∼B_{ϱ}} μ(y)dy die Gesamtmasse.

\underline{AUFGABE 49:} (Elliptische Koordinaten) Es sei Φ(u, v) := (α cosh(u)cos(v), α sinh(u) sin(v)), α > 0 . Bestimmen Sie maximale offene Mengen, auf denen Φ ein Diffeomorphismus ist, und geben Sie die Umkehrabbildung an. Beschreiben Sie die Mengen u = konstant und v = konstant .

(i) Zeigen Sie, daß Φ konform ist, und berechnen Sie Gradient, Divergenz und Laplace in den Koordinaten von Φ .

(ii) Die Funktion f sei auf den konfokalen Ellipsen E := \{(x, y) | \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \}, a^{2}−b^{2} = α^{2} , konstant. Wie vereinfacht sich das Integral \begin{matrix}∫ \\ IR & ^{2} \end{matrix} f(x, y)d(x, y) ?

\underline{AUFGABE 50:} (Lemma von Sard) Es sei ∅ ≠ U ⊂ IR^{n} offen und Φ ∈ C^{1}(U, IR^{n}) . Zeigen Sie, daß das Bild der kritischen Punkte von Φ eine Nullmenge ist, d.h.

L^{n}(Φ{x ∈ U | det(dΦ(x)) = 0 }) = 0.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 26.1.1998, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.