MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 26.1.1998 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 14.Übung

\underline{AUFGABE 51:} Es sei c(t) = r(t)(cos(φ(t)), sin(φ(t))), t ∈ [a, b], eine stetig differenzierbare Kurve im IR^{2} in Polarkoordinaten, r > 0, φ′ > 0, 0 < φ < 2π . Zeigen Sie, daß die vom Ortsvektor c(t) überstrichene Fläche durch

\frac{1}{2} ∫_{a}^{b} r(t)^{2} φ′(t)dt

gegeben ist. \underline{AUFGABE 52:} Es sei R := {(x, y, z) ∈ IR^{3} | y^{2} + z^{2} = f(x)^{2}, a ≤ x ≤ b } die von dem Graphen {(x, y) ∈ IR^{2} | y = f(x), a ≤ x ≤ b } , mit f ∈ C^{1}([a, b]), f > 0 , erzeugte Rotationsfläche. Zeigen Sie

H^{2}(R) = 2π ∫_{a}^{b} f(x)\sqrt{1 + f′(x)^{2}}dx.

\underline{AUFGABE 53:} Betrachten Sie den Zylindermantel Z := {(x, y, z) ∈ IR^{3} | x^{2}+y^{2} = 1, 0 ≤ z ≤ 1 } mit der Parametrisierung Φ(φ, z) := (cos(φ), sin(φ), z), φ ∈ IR, z ∈ [0, 1] . Für M, N > 0 unterteile man den Parameterbereich durch die Strecken \{z = \frac{k}{2N} \}, k = 0, …, 2N, und diese

durch die Punkte \{(\frac{2πl}{M}, \frac{k}{2N}) | l ∈ ZZ \} für gerade k und durch \{\frac{2π(l+ \frac{1}{2} )}{M}), \frac{k}{2N}) | l ∈ ZZ \} für ungerade k . Nun betrachte man die Dreiecke, deren Eckpunkte aus den Bildern unter Φ zweier benachbarter Punkten der Strecken \{z = \frac{k}{2N} \} und des Bildes des dazwischenliegenden Punktes auf der Strecke darüber oder darunter bestehen, als Approximation von Z . Vergleichen Sie den Gesamtflächeninhalt der Dreiecke mit dem Flächeninhalt des Zylindermantels für M, N groß. \underline{AUFGABE 54:}

(a) Es sei U ⊂ IR^{n−1} offen und M der Graph einer glatten Funktion f : U → IR mit Normalen ν = \frac{(−gradf,1)}{\sqrt{1+|gradf|^{2}}} . Für A ⊂⊂ U, meßbar , r > 0 sei N = \{(x, f(x)) | x ∈

A } und N_{r} = {(x, f(x)) + tν(x) | x ∈ A, |t| < r } . Zeigen Sie

lim_{r↓0} \frac{1}{2r} L^{n}(N_{r}) = H^{n−1}(N).

(b) M ⊂ IR^{n} sei eine kompakte, glatte (n-1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit und U_{r}(M) := {x ∈ IR^{n} | d(x, M) < r } . Zeigen Sie

lim_{r↓0} \frac{1}{2r} L^{n}(U_{r}(M)) = H^{n−1}(M).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 2.2.1998, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.