MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 2.2.1998 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 15.Übung

\underline{AUFGABE 55:} Eine alternierende k-Form ω ∈ Λ^{k}(V) heißt einfach oder zerlegbar, falls sie als Produkt von 1-Formen darstellbar ist. Zeigen Sie, daß für dim(V) ≤ 3 jede k-Form einfach ist. Zeigen Sie weiter, daß dx^{1} ∧ dx^{2} + dx^{3} ∧ dx^{4} ∈ Λ^{2}(IR^{4}) nicht einfach ist. \underline{AUFGABE 56:} Es seien c_{i} : I → IR^{p}, i = 0, 1 zwei C^{2}−Wege, die sich durch eine C^{2}−Homotopie verbinden lassen, d.h. H(s, i) = c_{i}(s), H(0, t) = c_{i}(0), H(1, t) = c_{i}(1) . Zeigen Sie für ω ∈ Ω^{1}(IR^{p})

∫_{c_{1}} ω − ∫_{c_{0}} ω = ∫_{[0,1]^{2}} H^{∗}dω.

\underline{AUFGABE 57:} Es sei V ein p-dimensionaler, orientierter euklidischer Raum. Ein Skalarprodukt ist auf Λ(V) definiert durch

⟨ω, σ⟩ = ∑_{1≤α_{1}<...a_{n}≤p} ω(e_{α_{1}}, …, e_{α_{n}})σ(e_{α_{1}}, …, e_{α_{n}})

für eine beliebige Orthonormalbasis e_{1}, …, e_{p} , falls ω, σ ∈ Λ^{n}(V) , und ⟨ω, σ⟩ = 0 , falls ω und σ verschiedene Grade haben. Zeigen Sie

⟨ω_{1} ∧ … ∧ ω_{n}, σ_{1} ∧ … ∧ σ_{n}⟩ = det(⟨ω_{i}, σ_{j}⟩)

für ω_{1}, …, ω_{n}, σ_{1}, …, σ_{n} ∈ Λ^{1}(V) . Der Hodgeoperator ∗ : Λ(V) → Λ(V) ist die lineare Abbildung, die folgenden Eigenschaften für eine gegebene positive Orthonormalbasis e_{1}, …, e_{p} ∈ V und ihre duale Basis dx^{1}, …, dx^{p} ∈ V^{∗} , d.h. dx^{i}(e_{j}) = δ_{ij} , erfüllt:

∗(1) = dx^{1} ∧ … ∧ dx^{p},
∗(dx^{1} ∧ … ∧ dx^{p}) = 1,
∗(dx^{α}) = sgn(α)dxα̂, für α ∈ I(n, p).

Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) ⟨ω, σ⟩ = ∗(ω ∧ ∗σ) = ∗(σ ∧ ∗ω) für ω, σ ∈ Λ^{n}(V) .

(ii) Es gilt ∗ : Λ^{n}(V) → Λ^{p−n}(V) und ∗∗ = (−1)^{n(p−n)} : Λ^{n}(V) → Λ^{n}(V) .

(iii) ∗ : Λ(V) → Λ(V) ist orthogonal und unabhängig von der Wahl der positiven Orthonormalbasis e_{1}, …, e_{p} ∈ V .

\underline{AUFGABE 58:} Es seien E, B : IR^{3} → IR^{3} glatte Vektorfelder. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) B⌊dx^{1} ∧ dx^{2} ∧ dx^{3} = ∑_{i=1}^{3}(−1)^{i−1}B^{i}dxî .

(ii) d( ∑_{i=1}^{3} E_{i}dx^{i}) = rotE⌊dx^{1} ∧ dx^{2} ∧ dx^{3} .

(iii) d(B⌊dx^{1} ∧ dx^{2} ∧ dx^{3}) = divBdx^{1} ∧ dx^{2} ∧ dx^{3} .

(iv) Nun seien E, B : IR × IR^{3} → IR^{3} durch dA = ( ∑_{i=1}^{3} E_{i}dx^{i}) ∧ dt + B⌊dx^{1} ∧ dx^{2} ∧ dx^{3}

gegeben, wobei A = A_{0}dt + ∑_{i=1}^{3} A_{i}dx^{i} eine 1-Form ist. Folgern Sie aus d^{2}A = 0 die

Maxwellschen-Gleichungen

div B = 0, ∂_{t}B + rot E = 0.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 9.2.1998, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.