MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 12.2.1998 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 16.Übung

\underline{AUFGABE 59:} Geben Sie eine geschlossene n-1-Form auf IR^{n} − {0} an, die nicht exakt ist. \underline{AUFGABE 60:} Befindet sich ein Körper Ω in einer Flüssigkeit der konstanten Dichte ϱ > 0 , die den unteren Halbraum H = {x ∈ IR^{3} | ⟨x, e_{3}⟩ < 0 } ausfüllt, so wirkt auf ∂Ω an der Stelle x die Kraft F (x) = ϱx^{3}ν(x) , wobei ν die äussere Normale ist. Berechnen Sie die Kräftesumme F = ∫_{Ω} F (x)dH^{2}(x) und begründen Sie das Archimedische Prinzip.

\underline{AUFGABE 61:} Berechnen Sie für einen symmetrischen Endomorphismus das Integral ∫_{S^{n−1}} ⟨Ax, x⟩dH^{n−1} .

\underline{AUFGABE 62:} Es sei Ω beschränkt mit glattem Rand und u ∈ C^{2}(\overline{Ω}), u ≢ 0 eine Lösung von −Δu = λu . Zeigen Sie λ > 0 . \underline{AUFGABE 63:} Zeigen Sie, daß die Karte f(θ, φ) = (sin(θ) cos(φ), sin(θ) sin(φ), cos(θ)) an S^{2} mit der durch die äussere Normale ν(y) = \frac{y}{|y|} induzierten Orientierung verträglich ist. \underline{AUFGABE 64:} Es sei X ein Vektorfeld auf IR^{n} , dessen Koeffizienten homogene Polynome vom Grad m sind. Zeigen Sie, daß für gerades m gilt: ∫_{S^{n−1}} X⌊ dv = 0 .

\underline{AUFGABE 65:} Es sei G ⊂⊂ IR^{2} ≅ CI , G′ := G ∼ {z_{1}, …, z_{m}}, z_{i} ∈ G und ω = f(z)dz holomorph auf G′ und stetig differenzierbar auf einer offenen Umgebung von \overline{G} ∼ \{z_{1}, …, z_{m}\} . Zeigen Sie

∫_{∂G} f(z)dz = 2πi ∑_{j=1}^{m} Res_{z_{j}}(f),

wobei das Residuum Res_{z_{j}}(f) von f bei z_{j} durch den Koeffizieten von \frac{1}{z} der Laurent-Reihe von f um z_{j} gegeben ist, d.h. Res_{z_{j}}(f) = a_{−1}^{(j)} , wenn

f(z) = ∑_{k∈ZZ} a_{k}^{(j)}(z − z_{j})^{k} in B_{δ}(z_{j}) − {z_{j}}

und B_{δ}(z_{j}) ⊂ G . \underline{AUFGABE 66:} Es sei Ω ⊂ IR^{n} offen und beschränkt mit glattem Rand, und ω die Raumwinkelform, d.h. ω = \frac{x}{|x|^{n}} ⌊ dv . Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i)

∫_{∂Ω} ω = \{ \begin{matrix}ω_{n−1} & falls 0 ∈ Ω \\ 0 & falls 0 ∉ \overline{Ω}. \end{matrix}

(ii) Ist D ⊂ ∂Ω ein Bereich, so daß die Abbildung p : D → S^{n−1}, p(x) := \frac{x}{|x|} injektiv ist und vollen Rang hat, so gilt

H^{n−1}(p(D)) = ∫_{D} ω.

Keine Abgabe