MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 20.10.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 2.Übung

\underline{AUFGABE 5:} Es sei μ ein endliches Maß auf X . M bezeichne die Menge der meßbaren Mengen von μ versehen mit der Äquivalenzrelation A ∼ B :⇔ μ(A△B) = 0 für A, B ∈ M . Die Menge der Äquivalenzklassen sei M̃ := M/ ∼ . Für [A], [B] ∈ M̃ sei ϱ([A], [B]) := μ(A△B) , wobei A△B die symmetrische Differenz von Mengen bezeichnet. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(a) ϱ ist wohldefiniert und (M̃, ϱ) ist ein vollständiger, metrischer Raum.

(b) Die Abbildungen M̃ × M̃ → M̃, ([A], [B]) ↦ [A ∪ B], [A△B], [A ∩ B] sind wohldefiniert und stetig.

\underline{AUFGABE 6:} Es sei μ ein Maß auf X , und f : X → Y . Zeigen Sie, daß ν(B) := μ(f^{−1}(B)) ein Maß auf Y definiert. ν ist das Bild-Maß von μ und wird mit f_{∗}(μ) bezeichnet. Zeigen Sie weiter, wenn μ endlich und Borel-regulär ist, daß eine Menge B ⊂ Y genau dann ν−meßbar ist, wenn f^{−1}(B) μ−meßbar ist. (Hinweis: Beweisen Sie, daß A, B ⊂ X meßbar sind, falls A ∪ B meßbar, μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) und μ endlich und Borel-regulär ist.) \underline{AUFGABE 7:} Zeigen Sie folgende Aussagen für das Hausdorff-Maß .

(a) H^{0} ist das Zählmaß . Dabei sei 0^{0} := 1 .

(b) Es gilt L^{1} = H^{1} auf IR^{1} .

(c) H^{m}(IR^{n}) = 0 für m > n .

(d) H^{m}(λA) = λ^{m}H^{m}(A) für λ > 0 , und H^{m}(M(A)) = H^{m}(A) für M(x) = T x + b und T ∈ O(n) .

\underline{AUFGABE 8:} Man zeige für den Quader Q := {x ∈ IR^{n} : a_{k} ≤ x_{k} ≤ b_{k} } , daß L^{n}(Q) = ∏_{k=1}^{n}(b_{k} −a_{k}) .

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 27.10.1997, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.