MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 27.10.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 3.Übung

\underline{AUFGABE 9:} Es sei μ ein Borelreguläres, translationsinvariantes Maß auf IR^{n} mit 0 < α = μ([0, 1]^{n}) < ∞ . Zeigen Sie μ = αL^{n} . \underline{AUFGABE 10:} Es sei A ⊂ ∪_{j=1}^{N}K_{j} eine Überdeckung einer Menge A mit endlich vielen kompakten Kugeln K_{j} = \overline{B_{r_{j}}(x_{j})} . Bestimmen Sie eine paarweise disjunkte Teilfamilie (K_{j})_{j∈J} , also K_{j} ∩ K_{j′} = ∅ für j, j′ ∈ J und j ≠ j′ , für die außerdem gilt:

A ⊂ ∪_{j∈J} \overline{B_{5r_{j}}(x_{j})}.

\underline{AUFGABE 11:} Gegeben seien abgeschlossene Kugeln K_{0}, K_{1}, … K_{N} ⊂ IR^{n}, K_{i} = {x : |x − x_{i}| ≤ 1 }. Es gelte K_{i} ∩ K_{0} ≠ ∅ , sowie x_{i} ∉ K_{j} für 1 ≤ i, j ≤ N, i ≠ j . Zeigen Sie, daß die Zahl N der Kugeln eine nur von n abhängige obere Schranke hat. \underline{AUFGABE 12:} Es sei μ ein Radonmaß auf IR^{n} . Untersuchen Sie die Stetigkeitseigenschaften von θ : IR^{n} × [0, ∞[→ IR, θ(x, r) := μ({y : |y − x| < r } . Zeigen Sie insbesondere, daß θ(., r) für festes r > 0 meßbar ist, und daß θ(x, .) für festes x bis auf abzählbar viele Ausnahmepunkte stetig ist. (Hinweis: f heißt ober- bzw. unterhalbstetig genau dann, wenn f(x_{0}) ≥

lim sup_{x→x_{0}} f(x) bzw. f(x_{0}) ≤ lim inf_{x→x_{0}} f(x) .)

\underline{AUFGABE 13:} Es sei μ ein Maß auf X mit μ(X) < ∞. Die Folge f_{k} : X → [−∞, ∞] konvergiere punktweise fast überall gegen f : X → IR . Zeigen Sie, daß μ({x : |f_{k}(x) − f(x)| ≥ ε }) → 0 für ε > 0 und k → ∞ .

Bearbeiten Sie vier der Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 3.11.1997, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.