MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 3.11.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 4.Übung

\underline{AUFGABE 14:} (Satz von Vitali) Es sei μ ein Maß auf IR^{n} , und f_{k} ∈ L^{1}(μ) konvergieren μ−fast-überall gegen f . Zeigen Sie, daß f ∈ L^{1}(μ) und f_{k} → f in L^{1}(μ) genau dann, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(i) Für beliebiges ε > 0 gibt es eine meßbare Menge A_{ε} ⊂ IR^{n} mit μ(IR^{n} − A_{ε}) <

∞ und sup_{k∈IN} ∫_{A_{ε}} |f_{k}|dμ < ε .

(ii) Für beliebiges ε > 0 gibt es ein δ > 0 , so daß sup_{k∈IN} ∫_{E} |f_{k}|dμ < ε für alle meßbaren

Mengen E ⊂ IR^{n} mit μ(E) < δ . (Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Egoroff. Für die Rückrichtung zeigen Sie (ii) zuerst für f durch Approximation mit Hilfe des Satzes von Levi oder Lebesgue.) \underline{AUFGABE 15:} Es sei μ ein Radonmaß auf IR^{n} , und f ∈ L^{1}(μ) . Zeigen Sie, daß durch J_{f}(g) := ∫ fgdμ ein stetiges lineares Funktional auf C_{c}^{0}(IR^{n}) mit ∥ J_{f} ∥=∥ f ∥_{L^{1}(μ)} definiert ist. Dabei ist

∥ J_{f} ∥:= sup{|J_{f}(g)| | g ∈ C_{c}^{0}(IR^{n}), |g| ≤ 1 }.

(Hinweis: Approximieren Sie sgn(f) = 1 für f > 0 und = −1 für f < 0 mit dem Satz von Lusin.) \underline{AUFGABE 16:} Es sei f : IR^{n} → IR meßbar mit |f(x)| ≤ min(1, \frac{C}{|x|^{n+α}}) für α > 0 . Zeigen Sie, daß f ∈ L^{1}(IR^{n}) . \underline{AUFGABE 17:} Für n ∈ IN sei das n-te Hermitepolynom durch

H_{n}(x) := (−1)^{n} exp(x^{2}) (\frac{d}{dx})^{n} exp(−x^{2})

definiert. Zeigen Sie, daß H_{n} ∈ L^{2}(μ) und ∫ ; IR H_{n}H_{m}dμ = 0 für n ≠ m , wobei μ :=

L^{1}⌊exp(−x^{2}) . (Hinweis: Zeigen Sie zuerst die Identität H′_{n} = 2nH_{n−1} und damit (exp(−x^{2})H′_{n})′ + 2n exp(−x^{2})H_{n} = 0 .) \underline{AUFGABE 18:} Zeigen Sie durch wiederholte Produktintegration

∫_{0}^{\sqrt{n}}(1 − \frac{t^{2}}{n})^{n}dt = \frac{2 4 ⋯ 2n}{1 3 ⋯ (2n − 1)} \frac{\sqrt{n}}{2n + 1}.

Schließen Sie daraus mit dem Wallis-Produkt, siehe z.B. Skript Analysis I S. 155,

∫_{−∞}^{∞} e^{−t^{2}}dt = \sqrt{π}.

Bearbeiten Sie vier der fünf Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 10.11.1997, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.