MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 10.11.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 5.Übung

\underline{AUFGABE 19:} (Jensen Ungleichung) Es sei μ ein Maß auf IR^{n} , mit μ(IR^{n}) < ∞ , f ∈ L^{1}(μ) und Φ : IR → IR stetig und konvex. Zeigen Sie

Φ(− ∫ fdμ) ≤ − ∫ Φ(f)dμ,

wobei das zweite Integral möglicherweise = +∞ ist. (Hinweis: Zeigen Sie, daß für c = − ∫ fdμ ein α ∈ IR existiert mit Φ(x) ≥ Φ(c)+α(x−c) .) \underline{AUFGABE 20:} Es sei μ ein Maß auf IR^{n} , 1 ≤ p < r < q ≤ ∞ und f ∈ L^{p}(μ) ∩ L^{q}(μ) . Zeigen Sie, daß f ∈ L^{r}(μ) . Ist f ∈ L^{1}(μ) bzw. f ∈ L^{∞}(μ) , falls lim inf_{p↓1} ∥ f ∥_{L^{p}(μ)}< ∞ bzw.

lim inf_{p↑∞} ∥ f ∥_{L^{p}(μ)}< ∞ ?

\underline{AUFGABE 21:}

Es sei Φ(t) := ∫_{0}^{∞}exp(−tx)\frac{sin(x)}{x}dx für t > 0 . Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Φ′(t) = −\frac{1}{1+t^{2}} .

(ii) lim_{t→∞} Φ(t) = 0 .

(iii) lim_{r→∞} ∫_{0}^{r} \frac{sin(x)}{x}dx = \frac{π}{2} .

(Hinweis: Zeigen Sie für (iii), daß | ∫_{r}^{∞}exp(−tx)\frac{sin(x)}{x}dx| ≤ \frac{C}{r} .)

\underline{AUFGABE 22:} Es sei I := [−\frac{L}{2}, \frac{L}{2}] . Beweisen Sie für f ∈ C^{1}(I) die Poincaré-Ungleichung

− ∫_{I} u^{2}dx ≤ (− ∫_{I} udx)^{2} + CL^{2}− ∫_{I} (u′)^{2}dx,

mit einer von u unabhängigen Konstanten C .

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 17.11.1997, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.