MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 17.11.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 6.Übung

\underline{AUFGABE 23:} Es sei H ein reeller Hilbertraum, also vollständig bezüglich der Skalarproduktnorm ∥ . ∥= \sqrt{⟨., .⟩} . Eine Menge S = \{u_{j} | j ∈ J \} ⊂ H mit ⟨u_{i}, u_{j}⟩ = δ_{ij} heißt Orthonormalsystem. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) ∑_{j∈J}⟨x, u_{j}⟩^{2} ≤∥ x ∥^{2} für alle x ∈ H .

(ii) lim_{k→∞} ∫_{−π}^{π} f(x) cos(kx)dx = 0 für alle f ∈ L^{2}(−π, π) .

(iii) Folgende Aussagen sind äquivalent:

(a) Für alle x ∈ H gilt x = ∑_{j∈J}⟨x, u_{j}⟩u_{j} .

(b) Für alle x ∈ H gilt ∥ x ∥^{2}= ∑_{j∈J}⟨x, u_{j}⟩^{2} .

(c) S^{⊥} := {x ∈ H | ⟨x, u_{j}⟩ = 0 für alle j } = {0} .

\underline{AUFGABE 24:} Die Funktion u ∈ C^{2}([0, ∞)×IR/L) beschreibe die Stoffkonzentration eines Diffusionsvorgangs in einem Ring der Länge L, I := [0, L] . Dann gilt auf [0, ∞)×IR/L die Diffusionsoder Wärmeleitungsgleichung u_{t} = u_{xx} .

(i) Bestimmen Sie spezielle Lösungen durch den Separationsansatz u(t, x) = v(t)w(x) .

(ii) Zeigen Sie allgemein, daß der Mittelwert u_{I} := − ∫_{I} u(t, x)dx zeitlich konstant ist.

(iii) Weisen Sie nach, daß Q(t) := − ∫_{I} |u(t, x) − u_{I}|^{2}dx exponentiell gegen Null geht. (siehe

Aufgabe 22).

\underline{AUFGABE 25:}

Es sei f ∈ L^{2}(0, ∞) , und F (x) := − ∫_{0}^{x}f(t)dt . Zeigen Sie die Hardy-Ungleichung

∥ F ∥_{2}≤ 2 ∥ f ∥_{2} .

(Hinweis: Betrachten Sie zuerst f ∈ C_{c}^{0}(0, ∞), f ≥ 0 und integrieren Sie ∫_{0}^{∞}F^{2}(x)dx

partiell.) \underline{AUFGABE 26:} Für f ∈ L^{2}(IR/(2π)) bezeichne P_{n}f die Orthogonalprojektion auf den von den Funktionen 1, cos(x), sin(x), …, cos(nx), sin(nx), aufgespannten Raum, also das n-te Fourierpolynom. Bestätigen Sie die folgende Darstellung

(P_{n}f)(x) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{π}(f(x + ξ) + f(x − ξ))\frac{sin((2n + 1)\frac{ξ}{2})}{sin(\frac{ξ}{2})}dξ.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 24.11.1997, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.