MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 24.11.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 7.Übung

\underline{AUFGABE 27:} Es sei f ∈ L^{2}(IR/(2π)), x_{0} ∈ IR und die einseitigen Grenzwerte und Ableitungen von f existieren bei x_{0} . Zeigen Sie, daß die Fourierreihe von f an der Stelle x_{0} gegen \frac{1}{2}(f(x_{0}+) + f(x_{0}−)) konvergiert, wobei f(x_{0}±) := lim_{h↓0} f(x_{0} ± h) .

(Hinweis: Benutzen Sie die Formel in Aufgabe 26 und Aufgabe 23(ii).) \underline{AUFGABE 28:} Betrachten Sie den komplexen Hilbertraum L^{2}(IR/(2π), CI) mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ = ∫_{−π}^{π} f(x)\overline{g(x)}dx und dem Orthonormalsystem u_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{ikx}, k ∈ ZZ . Zeigen

Sie folgende Aussagen.

(i) F : L^{2}(IR/(2π), CI) → l^{2}(CI), mit F(f)_{k} := \frac{1}{\sqrt{2π}} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−ikx}dx ist beschränkt und hat

eine isometrische Rechtsinverse.

(ii) Für f ∈ W^{r,2}(IR/(2π), CI) , d.h. f hat schwache Ableitungen bis zur Ordnung r ∈ IN_{0} in L^{2}(IR/(2π), CI) , gilt

∑_{k∈ZZ} k^{2r}|F (f)_{k}|^{2} ≤∥ \frac{d^{r}f}{dx^{r}} ∥_{L^{2}}^{2} .

(iii) Folgern Sie, daß die Fourierreihe mitsamt ihren Ableitungen bis zur Ordnung r − 1 gleichmäßig gegen ein f̃ ∈ C^{r−1}(IR/(2π), CI) konvergiert, falls f ∈ W^{r,2} und r ≥ 1 .

\underline{AUFGABE 29:} Die Eigenschwingungen einer fest eingespannten Membran Ω ⊂ IR^{2} sind die Eigenfunktionen u von −Δ unter den Randbedingungen u|_{∂Ω} = 0 . Für Ω := (0, a) × (0, b) lauten diese u_{k,l}(x, y) = sin(\frac{πk}{a}x) sin(\frac{πl}{b}y) mit k, l ∈ IN . Es sei N(Λ) die Zahl der linear unabhängigen Eigenfunktionen zu Eigenwerten λ ≤ Λ . Zeigen Sie

lim_{Λ→∞} \frac{N(Λ)}{Λ} = \frac{ab}{4π} .

\underline{AUFGABE 30:}

(i) Es konvergiere x_{k} schwach in einem Hilbertraum gegen x und ∥ x_{k} ∥→∥ x ∥ . Zeigen Sie, daß x_{k} → x in der Norm des Hilbertraumes.

(ii) Es sei f_{ε}(x) := \begin{matrix}√ & \overline{ε} \\ √ & \overline{ε^{2}+x^{2}} \end{matrix} . Zeigen Sie, daß ∥ f_{ε} ∥_{L^{2}(IR)}= \sqrt{π} und f_{ε} konvergiert schwach gegen 0 in L^{2}(IR) . Zeigen Sie demgegenüber, daß ∫ f_{ε}^{2}(x)φ(x)dx → πφ(0) für φ ∈ C_{c}^{0}(IR) .

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 1.12.1997, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.