MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 1.12.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 8.Übung

\underline{AUFGABE 31:} Berechnen Sie die Fourierreihe der Funktion f(x) := dist(x, 2πZZ) und folgern Sie die

Formel ∑_{ν=1}^{∞} \frac{1}{(2ν−1)^{2}} = \frac{π^{2}}{8} .

(Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 27.) \underline{AUFGABE 32:} Es sei η ∈ C_{c}^{∞}(−1, 1) , mit η ≥ 0 und ∫IR η = 1 , und η_{ϱ}(x) := ϱ^{−1}η(\frac{x}{ϱ}) . Zeigen Sie für u ∈ W^{1,2}(IR/L) die Ungleichung

|(η_{ϱ} ∗ u)(x) − (η_{σ} ∗ u)(x)| ≤∥ u_{x} ∥_{L^{2}(0,L)} |ϱ − σ|^{\frac{1}{2}} ,

wenn |ϱ − σ| ≤ L . \underline{AUFGABE 33:} Es sei ν das Zählmaß auf (0, 1) . Begründen Sie, daß dann der Hilbertraum L^{2}(ν) nicht separabel ist, d.h. keine abzählbare und dichte Teilmenge besitzt. (Hinweis: Zeigen Sie erst ∥ u ∥_{L^{2}(ν)}^{2}= ∑_{x∈(0,1)} u(x)^{2} .)

\underline{AUFGABE 34:} Hier soll das Anfangswertproblem für die Wärmeleitung in einem Ring der Länge 2π , d.h.

\begin{matrix}u_{t} = u_{xx} auf (0, ∞) × IR, \\ u(0, .) = u_{0} ∈ L^{2}(IR/(2π)), \end{matrix}

mittels der in Aufgabe 28 bestimmten Reihendarstellung

u(t, x) = \frac{a_{0}}{2} + ∑_{k=1}^{∞} exp(−k^{2}t)(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx))

gelöst werden; dabei sind a_{k}, b_{k} ∈ IR die Fourierkoeffizienten von u_{0} . Zeigen Sie, daß u ∈ C^{∞}((0, ∞) × IR) und diskutieren Sie die Annahme des Anfangswertes ” lim_{t↓0} u(t, .) = u_{0}” unter geeigneten Annahmen. (Dabei könnte der Limes als schwacher

oder starker Grenzwert in L^{2} , als Grenzwert in C^{0} usw. interpretiert werden.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 8.12.1997, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.