MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 15.12.1997 Dr. R. Schätzle

Analysis III WS 1997/98 9.Übung

\underline{AUFGABE 35:} Bestimmen Sie die 2π−periodische Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung

x′′ + 2βx′ + ω_{0}^{2}x = f

für f ∈ C^{1}(IR/(2π)), f(t) = f(−t) ω_{0} ∉ ZZ , indem Sie f in eine Fourierreihe entwickeln. Berechnen Sie auch ∥ x ∥_{L^{2}}^{2} . In beiden Fällen genügen Reihendarstellungen. \underline{AUFGABE 36:}

(a) Bestimmen Sie für 1 ≤ p < ∞ alle α , so daß |x|^{α} ∈ W^{1,p}(0, 1) .

(b) Zeigen Sie, daß eine Einbettung J : W^{1,p}(0, 1) ⊂ C^{0}(0, 1) durch Zuordnung eines stetigen Repräsentanten existiert. Zeigen Sie weiter, daß

\frac{|Ju(x) − Ju(y)|}{|x − y|^{α}} ≤ C ∥ u ∥_{W^{1,p}},

für x ≠ y , und bestimmen Sie dabei α > 0 optimal.

\underline{AUFGABE 37:} Schreiben Sie die Lösung in Aufgabe 34 als Integral

u(t, x) = \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} u_{0}(y)ϑ(t, x − y)dy

und geben Sie eine Reihendarstellung für ϑ an. Begründen Sie, daß ϑ die Gleichung für die Wärmeleitung mit Anfangswerten δ_{0} erfüllt, wobei δ_{0} das Dirac-Maß im Nullpunkt ist, d.h. zeigen Sie, daß ϑ_{t} − ϑ_{xx} = 0 für t > 0 gilt und diskutieren Sie den Grenzwert

” lim_{t↓0} \frac{1}{π} ∫_{−π}^{π} u_{0}(x)ϑ(t, x)dx” .

\underline{AUFGABE 38:} Bestimmen Sie die Lösung der Gleichung

LG := −G′′ + ω_{0}^{2}G = δ_{0}

mit G(x) → 0 für |x| → ∞ , wobei δ_{0} das Dirac-Maß im Nullpunkt ist, d.h. bestimmen Sie eine Funktion G für die ∫ ; IR G(x) (Lφ)(x)dx = φ(0), für φ ∈ C_{c}^{∞}(IR) .

(Hinweis: Zeigen Sie, daß G in IR − {0} die homogenen Gleichung LG = 0 löst, und untersuchen Sie Sprungbedingungen für G und G′ in 0.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 22.12.1997, von 14^{00} Uhr bis 14^{10} Uhr.