MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 19.10.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 1.Übung

\underline{AUFGABE 1:} Schreiben Sie die Differentialgleichungen der Vorlesung, etwa den hyperbolischen Erhaltungssatz, die Navier-Stokes Gleichung, die Monge-Ampère Gleichung, die Korteweg-de Vries Gleichung und die Maxwell Gleichungen, in der Form

F (x, u, Du, D^{2}u, …, D^{k}u) = 0,

und bestimmen Sie, ob diese Gleichungen linear, semi-linear, quasi-linear oder voll nichtlinear sind. \underline{AUFGABE 2:} Betrachten Sie das quasi-lineare elliptische System

A_{ij}^{αβ}(x, u, Du)∂_{αβ}^{2}u^{j} + A_{i}(x, u, Du) = 0,

1 ≤ α, β ≤ n, 1 ≤ i, j ≤ m . Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingungen für A_{ij}^{αβ} an, so daß sich dieses System für geeignetes A_{i} lokal als Euler-Lagrange-Gleichung schreiben läßt, d.h. in der Form

div((D_{p}F)(x, u, Du)) − (D_{z}F)(x, u, Du) = 0.

\underline{AUFGABE 3:} Die Energie eines Flüssigkeitstropfens M := \{(x, t) | x ∈ \overline{Ω}, t ≤ φ(x) \} in einem zylindrischen Gebiet \overline{Ω} × IR , ∅ ≠ Ω ⊂ IR^{n} offen und mit glattem Rand ∂Ω , mit glattem φ : \overline{Ω} → [0, ∞[ sei gegeben durch:

E(M) = E(φ) := ∫_{Ω} \sqrt{1 + |Dφ|^{2}} dx + σ ∫_{∂Ω} φ dH^{n−1},

wobei |σ| < 1 . Bestimmen Sie die erste Variation von E und die resultierenden Differentialgleichungen in Ω und ∂Ω und interpretieren Sie die Randbedingung geometrisch. \underline{AUFGABE 4:} Betrachten Sie die p-Energie für 1 < p < ∞

E_{p}(u) := ∫_{Ω} |Du|^{p} dx

für glatte, skalare Funktionen u : Ω → IR . Bestimmen Sie die erste Variation dieser Energie, geben Sie für geeignete p die Differentialgleichung für stationäre Punkte an.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 26.10.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.