MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 21.12.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 10.Übung

\underline{AUFGABE 37:} (Randwerte) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} offen und f ∈ L^{2}(Ω), g ∈ W^{1,2}(Ω) . Wir betrachten das folgende elliptische Randwertproblem:

\begin{matrix}−∂_{β}(a^{αβ}∂_{α}u) = f in Ω, \\ u − g ∈ ^{∘} W^{1,2}(Ω), \end{matrix}

wobei a^{αβ} ∈ L^{∞}(Ω) elliptisch ist, d.h a^{αβ}ξ_{α}ξ_{β} ≥ μ|ξ|^{2} . Geben Sie eine schwache Formulierung des Problems an, zeigen Sie die Existenz einer eindeutigen Lösung und beweisen Sie die folgende Abschätzung

∥ u ∥_{W^{1,2}(Ω)}≤ C(∥ f ∥_{L^{2}(Ω)} + ∥ g ∥_{W^{1,2}(Ω)})

\underline{AUFGABE 38:} (Neumann-Randwerte) Wir betrachten das elliptische Neumann-Randwertproblem:

\begin{matrix}−∂_{β}(a^{αβ}∂_{α}u) = f in B_{1}, \\ a^{αβ}∂_{α}u ν_{β} = 0 auf ∂B_{1}, \end{matrix}  (1)

wobei ν die äußere Einheitsnormale an ∂B_{1} ist und wobei a^{αβ} ∈ L^{∞}(B_{1}) elliptisch ist, d.h a^{αβ}ξ_{α}ξ_{β} ≥ μ|ξ|^{2} . Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Für u ∈ C^{2}(\overline{B_{1}}), a^{αβ} ∈ C^{1}(\overline{B_{1}}) und f ∈ C^{0}(\overline{B_{1}}) ist (1) äquivalent zu

∫_{B_{1}} a^{αβ}∂_{α}u∂_{β}φ = ∫_{B_{1}} fφ für φ ∈ W^{1,2}(B_{1}).  (2)

(2) wird im folgenden als schwache Formulierung verwendet.

(ii) Falls eine schwache Lösung u ∈ W^{1,2}(B_{1}), f ∈ L^{2}(B_{1}) existiert, so gilt ∫_{B_{1}} f = 0 .

(iii) Für f ∈ L^{2}(B_{1}), ∫_{B_{1}} f = 0 existiert eine eindeutige schwache Lösung u mit ∫_{B_{1}} u = 0 .

(Hinweis: Wenden Sie eine Poincaré-Ungleichung und den Satz von Lax-Milgram auf dem Hilbertraum H := {φ ∈ W^{1,2}(B_{1}) | ∫_{B_{1}} φ = 0 } an.)

\underline{AUFGABE 39:} (Biharmonische Gleichung) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} eine offene Menge. Geben Sie eine schwache Formulierung des Randwertproblems für den Bi-Laplace Operator an:

Δ^{2}u = f in Ω,
u = 0 auf ∂Ω,
∂_{ν}u = 0 auf ∂Ω.

Zeigen Sie, daß eine eindeutige Lösung existiert. \underline{AUFGABE 40:} (Gårding-Ungleichung mit Plancherel-Transformation) Wir betrachten den Operator

(Lu)_{i} := −a_{ij}^{αβ}∂_{αβ}^{2}u^{j} + q_{ij}u^{j}

mit konstanten Koeffizienten a, q , der die starke Legendre-Hadamard-Bedingung

a_{i,j}^{α,β}η_{α}η_{β}ξ^{i}ξ^{j} ≥ μ|η|^{2}|ξ|^{2} für η, ξ ∈ IR^{n}

für ein μ > 0 erfüllt. Zeigen Sie für u ∈ C_{c}^{2}(IR^{n}, IR^{m}) , daß

\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} ⟨Lu, u⟩dx ≥ c_{0} ∥ ∇u ∥_{L^{2}(IR^{n})}^{2} −C ∥ u ∥_{L^{2}(IR^{n})}^{2}

für Konstanten 0 < c_{0} < C < ∞ . (Hinweis: Wenden Sie die Plancherel-Transformation, siehe Aufgabe 27, an.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 11.1.1999, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.

Prof. Dr. E. Kuwert 21.12.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 10.Übung, Teil 2 (Sonder-Angebot)

\underline{AUFGABE 41:} (Laplace-Operator auf Mannigfaltigkeiten) Hier soll der Laplaceoperator bzgl. einer glatten, Riemannschen Metrik ⟨., .⟩ auf einer kompakten Mannigfaltigkeit M ohne Rand definiert und untersucht werden.

Unter einer lokalen Koordinate φ : U ⟶^{∼} Ω ⊆ IR^{n} entsprechen Tensoren auf M (ko-)vektorwertigen Funktionen. Ist φ̃ : Ũ ⟶^{∼} Ω̃ ⊆ IR^{n} eine weitere Koordinate (z.B. stereographische Projektion vom Nord- und Südpol auf S^{n} ), so hat man die Koordinatentransformationen Φ := φ̃ ∘ φ^{−1} : φ(U ∩ Ũ) → φ̃(U ∩ Ũ) . Tensoren haben dann das Transformationsverhalten:

Funktionen:  u = ũ ∘ Φ,
Vektorfelder:  X = DΦ^{−1} · (X ∘ Φ),
Metrik:  g(X, Y) = (g̃ ∘ Φ)(DΦ · X, DΦ · Y),
Volumenelement:  ∫_{Ω} η̃ ∘ Φ dμ_{g} = ∫_{Ω̃} η̃ dμg̃.

Wir definieren nun bzgl. einer Karte lokal die Operationen grad u, div X durch

g(grad u, X) = Du · X,

∫_{Ω} η div X dμ = − ∫_{Ω} g(grad η, X) dμ für η ∈ C_{c}^{∞}(Ω).

Zeigen Sie:

(i) Die Operatoren grad und div sind global wohldefiniert. In Koordianten lauten sie

grad u = g^{αβ}∂_{α}u e_{β} und div X = \frac{1}{\sqrt{det(g)}}∂_{α}(\sqrt{det(g)}X^{α}).

(ii) Der Raum

W^{1,2}(M) := {v ∈ L^{2}(M) | für jede Karte φ : U → Ω ist u := v ∘ φ^{−1} ∈ W_{loc}^{1,2}(Ω) }

ist mit dem Skalarprodukt

⟨u, v⟩_{W^{1,2}(M)} := ∫_{M} (uv + ⟨grad u, grad v⟩)dμ

ein Hilbertraum.

(iii) L : W^{1,2}(M) → W^{1,2}(M)′, L := −Δ + q mit q ∈ L^{∞}(M) , definiert durch

(Lu)(v) := ∫_{M} (⟨grad u, grad v⟩ + quv)dμ,

ist ein (stetiger) Fredholm-Operator vom Index Null.