MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 11.1.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 11.Übung

\underline{AUFGABE 42:} (W^{2,2}−Regularität) Betrachten Sie eine schwache Lösung u ∈ W^{1,2}(Ω) von

div A(Du) = f in Ω,  (1)

wobei f ∈ L^{2}(Ω) und A ∈ C^{1}(IR^{n}, IR^{n}) gleichmäßig elliptisch ist, genauer

∂_{α}A_{β}(p)η_{α}η_{β} ≥ μ|η|^{2} und ∥ DA ∥≤ M

für alle p, η ∈ IR^{n} . Zeigen Sie mit der Differenzenquotiententechnik u ∈ W_{loc}^{2,2}(Ω) . (Bemerkung: Die Euler-Lagrange Gleichung eines Variationsintegrals F(u) = ∫_{Ω} f(Du)dx

ist von der Form in (1) mit A(p) = (D_{p}f)(p) .) \underline{AUFGABE 43:} (Widmans Lochfülltrick) Es sei u ∈ W^{1,2}(Ω) eine schwache Lösung von −∂_{β}(a^{αβ}∂_{α}u) = 0 mit a^{αβ}(x)η^{α}η^{β} ≥ μ|η|^{2} und |a^{αβ}(x)| ≤ M für alle x ∈ Ω, η ∈ IR^{n} . Zeigen Sie für B_{R}(x_{0}) ⊂⊂ Ω .

(i)

∫_{B_{R/2}(x_{0})} |Du|^{2} dx ≤ CR^{−2} ∫_{B_{R}(x_{0})−B_{R/2}(x_{0})} |u − s|^{2} dx

für alle s ∈ IR mit C = C(μ, M) unabhängig von R .

(ii)

∫_{B_{R/2}(x_{0})} |Du|^{2} dx ≤ θ ∫_{B_{R}(x_{0})} |Du|^{2} dx,

wobei θ < 1 .

(Hinweis: Wählen Sie in (i) s = − ∫_{B_{R}(x_{0})−B_{R/2}(x_{0})} u =: ū_{R} , und verwenden Sie ohne Beweis die Poincaré-Ungleichung ∥ u − ū_{1} ∥_{L^{2}(B_{1}(0)−B_{1/2}(0))}≤ C ∥ Du ∥_{L^{2}(B_{1}(0)−B_{1/2}(0))} . Addieren Sie schließlich zur Abschätzung C ∫_{B_{R/2}(0)} |Du|^{2} dx .)

(iii) u ≡ const , falls Du ∈ L^{2}(IR^{n}) .

\underline{AUFGABE 44:} (Verallgemeinerung des Satzes von Lebesgue) Seien f_{k} : (X, μ) → [−∞, ∞] meßbar, und es gelte

(i) f_{k} → f punktweise fast überall, (ii) |f_{k}|^{p} ≤ |g_{k}|^{q} für g_{k} ∈ L^{q}(μ) mit g_{k} → g in L^{q}(μ),

wobei 1 ≤ p, q < ∞ . Folgern Sie f_{k} → f in L^{p}(μ) . (Hinweis: Wenden Sie das Lemma von Fatou auf die Funktionen u_{k} = 2^{p−1}(|g|^{q} + |g_{k}|^{q}) − |f − f_{k}|^{p} an.) \underline{AUFGABE 45:} (Sublösungen) Es sei u ∈ W^{1,2}(Ω) ∩ L^{∞}(Ω) eine schwache Sublösung von Lu = −∂_{β}(a^{αβ}∂_{α}u) ≤ 0 . Weisen Sie nach, daß dann auch L(φ ∘ u) ≤ 0 gilt für jede konvexe Funktion φ ∈ C^{1}(IR) mit φ′ ≥ 0 .

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 18.1.1999, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.