MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 18.1.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 12.Übung

\underline{AUFGABE 46:} (Höhere Regularität) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} mit C^{k+2}−Rand k ∈ IN ∪{0} und a^{αβ} ∈ W^{k+1,∞}(Ω), q ∈ W^{k,∞}(Ω) . Der hierdurch definierte Differentialoperator kann einmal im schwachen und einmal im starken Sinn aufgefaßt werden, also L : H_{0}^{1,2}(Ω) → W^{−1,2}(Ω) sowie L_{k} : (H_{0}^{1,2} ∩ W^{k+2,2})(Ω) → W^{k,2}(Ω) . Bestimmen Sie den Kern, das Bild sowie ein Komplement des Bildes von L_{k} . Schließen Sie weiter, daß L_{k} ein Fredholm-Operator mit Index Null ist. \underline{AUFGABE 47:} (Glattbiegen des Randes) Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Es seien Ω, Ω′ ⊂⊂ IR^{n} und Φ : \overline{Ω} ⟶^{∼} \overline{Ω′} ein C^{1}−Diffeomorphismus. Dann ist Φ^{#} : W^{1,2}(Ω′) → W^{1,2}(Ω) mit u ↦ u ∘ Φ ein linearer Isomorphismus.

(ii) Es sei Ω ⊆ IR^{n} mit x_{0} ∈ ∂Ω und Ψ : U(x_{0}) ⟶^{∼} B_{1}(0) ein C^{1}−Diffeomorphismus einer Umgebung U(x_{0}) mit

\begin{matrix}Ψ(x_{0}) = 0, \\ Ψ(Ω ∩ U(x_{0})) = B_{1}(0) ∩ \{x_{n} < 0\}. \end{matrix}

Es sei u ∈ W^{1,2}(Ω) eine schwache Lösung der Differentialgleichung Lu := −∂_{β}(a^{αβ}∂_{α}u)+qu = f , wobei a^{αβ} ∈ C^{0}(\overline{Ω}), q ∈ L^{∞}(Ω) und f ∈ L^{2}(Ω) . Bestimmen Sie die Koeffizienten der transformierten Gleichung für v := u ∘ Φ, wobei Φ := Ψ^{−1} . Kann Ψ so gewählt werden, daß in den neuen Koordinaten ã^{αβ}(0) = δ_{αβ} ?

\underline{AUFGABE 48:} (Semi-lineare elliptische Gleichung) Es sei u ∈ C_{loc}^{2}(IR^{n}), u ≥ 0 eine schwache Lösung der Differentialgleichung

−Δu + f(u) = 0.

Dabei sei f ∈ C^{1}([0, ∞[), f(1) = 0 und

f′(t) ≥ μ|t|^{p−2} für t ≥ 1 − μ

für gegebenes p > 2, μ > 0 . Zeigen Sie folgende Aussagen, wobei die Konstanten C von p, μ und n abhängen.

(i) Für jeden Ball B_{1} ⊂ IR^{n}

∥ Du ∥_{L^{2}(B_{1})}, ∥ u ∥_{L^{p}(B_{1})}, ∥ f(u) ∥_{L^{2}(B_{1})}≤ C.

(Hinweis: Testen Sie mit u η^{\frac{2p}{p−2}} und vη^{2} , wobei v := f(u)χ_{[u≥1]} .)

(ii) Für n ≤ 3 gilt

∥ u ∥_{L^{∞}(IR^{n})}≤ C.

(iii) Falls u ∈ L^{∞}(IR^{n}) , so gilt u ≤ 1 .

(Hinweis: Zeigen Sie, daß w(x) := 1 + τe^{δ|x|^{2}} für δ, τ > 0 und δ klein die Differentialungleichung −Δw + f(w) ≥ 0 auf einem großen Ball erfüllt, und wenden Sie das Maximumprinzip an.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 25.1.1999, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.