MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 25.1.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 13.Übung

\underline{AUFGABE 49:} (Interpolation) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} mit C^{2}−Rand und 1 ≤ p < ∞. Zeigen Sie für u ∈ W^{2,p}(Ω), 0 < ε < 1 die Abschätzung

∥ Du ∥_{L^{p}(Ω)}≤ ε ∥ D^{2}u ∥_{L^{p}(Ω)} +Cε^{−1} ∥ u ∥_{L^{p}(Ω)},

wobei C unabhängig von u und ε ist. (Hinweis: Zeigen Sie die Abschätzung zuerst im Eindimensionalen und dann für u ∈ H_{0}^{2,p}(Ω) .) \underline{AUFGABE 50:} (Grenzen des Satzes von Rellich) Betrachten Sie die offene Menge Ω :=]0, 1[^{2}− ∪_{k=1}^{∞} ({2^{−k}}×]0, 1/2]) und konstruieren Sie eine Folge u_{k} ∈ W^{1,2}(Ω) mit ∥ u ∥_{W^{1,2}(Ω)}≤ C , ∥ u ∥_{L^{2}(Ω)}= 1 und u_{k} → 0 punktweise auf Ω . Schließen Sie daraus, daß der Satz von Rellich auf Ω nicht gilt. \underline{AUFGABE 51:} (Kapazität) Es seien D ⊂⊂ Ω ⊆ IR^{n} offene Mengen. Die Kapazität von D in Ω ist definiert durch

cap_{Ω}(D) := inf{∫_{Ω} |∇u|^{2} | u ∈ H_{0}^{1,2}(Ω), u = 1 auf D }.

Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Für D′ ⊆ D und Ω ⊆ Ω′ gilt

cap_{Ω′}(D′) ≤ cap_{Ω}(D).

(ii) Das Infimum in obiger Definition wird angenommen.

(iii) Für n ≥ 3 gilt

L^{n}(D)^{1−2/n} ≤ C_{n}cap_{Ω}(D).

(Hinweis: Verwenden Sie eine Sobolev Einbettung.)

\underline{AUFGABE 52:} (Max-Min-Prinzip von Courant) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} , H_{0}^{1,2}(Ω) ⊆ V ⊆ W^{1,2}(Ω) ein abgeschlossener Unterraum und L : V → V′ selbstadjungiert mit Lu := −∂_{β}(a^{αβ}∂_{α}u)+qu für u ∈ V , wobei a^{αβ}(x)η^{α}η^{β} ≥ μ|η|^{2} , a^{αβ} = a^{βα} und |a^{αβ}(x)|, |q(x)| ≤ M für alle x ∈ Ω, η ∈ IR^{n} . Zeigen Sie, daß die Eigenwerte λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ … von L das folgende Max-Min-Prinzip erfüllen:

λ_{k} = max_{W ⊆V, dim W =k−1} min{⟨Lu, u⟩ | u ∈ V, ∫_{Ω} uw = 0 für w ∈ W ∥ u ∥_{L^{2}(Ω)}= 1 }.

Für V = W^{1,2}(Ω) bzw. V = H_{0}^{1,2}(Ω) bezeichnen wir die Eigenwerte mit λ_{k}^{N} bzw. λ_{k}^{D} . Zeigen Sie

λ_{k}^{N} ≤ λ_{k}^{D}.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 1.2.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.