MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 1.2.1999 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 14.Übung

\underline{AUFGABE 53:} (Nicht-lineares Maximumprinzip) Für Ω ⊂⊂ IR^{n} mit C^{2}−Rand betrachten wir die voll nicht-lineare elliptische Gleichung

F (x, u(x), Du(x), D^{2}u(x)) = 0 für x ∈ Ω.

Dabei setzen wir F ∈ C^{1}(\overline{Ω} × IR × IR^{n} × IR^{n,n}, IR) mit

∂_{Q_{αβ}}F (x, z, p, Q)η_{α}η_{β} > 0 für η ∈ IR^{n} − {0} und ∂_{z}F (x, z, p, Q) ≤ 0

voraus. Nun seien u, v ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{0}(\overline{Ω}) mit F (., u, Du, D^{2}u) ≥ 0, F (., v, Dv, D^{2}v) ≤ 0 in Ω und u ≤ v auf ∂Ω . Zeigen Sie u ≤ v auf ganz Ω . \underline{AUFGABE 54:} (Eindeutigkeit des Neumann-Problems) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} zusammenhängend mit C^{2}−Rand und u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{1}(\overline{Ω}) ein Lösung des Neumann-Problems

\begin{matrix}−a^{αβ}∂_{αβ}u + qu = f in Ω, \\ ∂_{ν}u = 0 auf ∂Ω, \end{matrix}

wobei ν die äußere Einheitsnormale an ∂Ω ist, a^{αβ}, q, f ∈ C^{0}(\overline{Ω}) und a^{αβ}η_{α}η_{β} ≥ μ|η|^{2}, q ≥ 0 . Zeigen Sie: u ist bis auf eine Konstante eindeutig, falls q ≡ 0 , und u ist eindeutig, falls q ≢ 0 . \underline{AUFGABE 55:} (Parabolisches Maximumprinzip) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} mit C^{1}−Rand und u ∈ L^{2}((0, T); W^{1,2}(Ω)) eine Lösung des parabolischen Anfangs-Randwertproblems

∂_{t}u − ∂_{β}(a^{αβ}∂_{α}u) + qu = f in Ω × (0, T),
u = u_{D} auf Γ_{T} := ((∂Ω) × (0, T)) ∪ (Ω × {0}),

wobei u_{D} ∈ C^{0}([0, T]; W^{1,2}(Ω)) , a^{αβ}, q, f, u_{D} ∈ L^{∞}(Ω_{T}) und a^{αβ}η_{α}η_{β} ≥ μ|η|^{2} . Weiter gelte q ≥ −Λ mit Λ ≥ 0 . Zeigen Sie

sup_{Ω_{T}} u ≤ e^{ΛT} (sup_{Γ_{T}} u_{D,+} + T sup_{Ω_{T}} f_{+}).

(Hinweis: Betrachten Sie ũ := e^{−Λt}u − t sup_{Ω_{T}} f_{+} .)

\underline{AUFGABE 56:} (Spektralzerlegung und Wellengleichung) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} mit C^{∞}−Rand und u_{j} eine Orthonormal-Basis von L^{2}(Ω) aus Eigenfunktionen des Laplaceoperators auf H_{0}^{1,2}(Ω) mit Eigenwerten 0 < λ_{1} ≤ … Der Operator e^{itΔ} : L^{2}(Ω) → L^{2}(Ω) sei definiert durch

e^{itΔ}u_{j} := e^{it\sqrt{λ_{j}}}u_{j}.

Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) e^{itΔ} : L^{2}(Ω) → L^{2}(Ω) und e^{itΔ} : W^{k,2}(Ω) ∩ H_{0}^{1,2}(Ω) → W^{k,2}(Ω) ∩ H_{0}^{1,2}(Ω) sind beschränkt und linear für k ≥ 1 .

(ii) u(t) := e^{itΔ}u_{0} erfüllt

∂_{t}^{m}u ∈ C^{0}([0, T]; W^{k−m,2}(Ω))

für 0 ≤ m ≤ k und u_{0} ∈ W^{k,2}(Ω) ∩ H_{0}^{1,2}(Ω), k ≥ 1 .

(iii) Für u_{0} ∈ H_{0}^{1,2}(Ω) löst u(t) := e^{itΔ}u_{0} die Wellengleichung

∂_{t}^{2}u − Δu = 0 in Ω × (0, T),
u = u_{0} auf Ω × {0},
u = 0 auf (∂Ω) × (0, T).

Dabei werden die Anfangsdaten stetig in H_{0}^{1,2}(Ω) angenommen.

(Hinweis: Überlegen Sie, daß c_{k} ∑_{j=1}^{∞} |α_{j}|^{2}(1 + |λ_{j}|^{k}) ≤∥ u ∥_{W^{k,2}(Ω)}^{2}≤ C_{k} ∑_{j=1}^{∞} |α_{j}|^{2}(1 + |λ_{j}|^{k})

für u = ∑_{j=1}^{∞} α_{j}u_{j} ∈ W^{k,2}(Ω) ∩ H_{0}^{1,2}(Ω) und 0 < c_{k} ≤ C_{k} < ∞ .)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 8.2.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.