MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 26.10.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 2.Übung

\underline{AUFGABE 5:} Es sei Ω ⊆ IR^{n} offen mit C^{1}-Rand. Auf der Menge C := \{v ∈ C^{1}(\overline{Ω}) | v = 0 auf ∂Ω \} betrachten wir das Funktional

F (v) := ∫_{Ω} (f(Dv) − gv) dx,

mit f ∈ C^{2}(IR^{n}), f konvex und g ∈ C^{0}(\overline{Ω}) . Zeigen Sie, daß eine Funktion u ∈ C∩C^{2}(\overline{Ω}) das Funktional in C genau dann minimiert, wenn gilt

−div [(grad f)(Du)] = g.

Ist ein solches Minimum eindeutig ? \underline{AUFGABE 6:} Das Dirichlet-Integral

E(u) := ∫_{Ω} |Du|^{2}dx

wird im folgenden für u ∈ C := \{u ∈ C^{2}(\overline{Ω}, IR^{n}) | |u| = 1 \} betrachtet, wobei Ω ⊂⊂ IR^{n} offen und mit glattem Rand ∂Ω ist. Zeigen Sie, daß ein Minimum von E in C die semi-linere Differentialgleichung

−Δu = |Du|^{2} u

erfüllt. \underline{AUFGABE 7:} Zeigen Sie für das Funktional

F (u) := ∫_{0}^{1} (((u′)^{2} − 1)^{2} + u^{2}) dx,

daß F kein Minimum in C^{1}([0, 1]) besitzt. \underline{AUFGABE 8:} (Erste Aufgabe einer Serie über Fouriertransformation) Es sei μ := (2π)^{− \frac{n}{2}} L^{n} das normalisierte Lebesgue-Maß auf IR^{n} . Für u ∈ L^{1}(μ) sei die Fouriertransformierte û von u definiert durch

û(x) :=\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} u(y)e^{−i⟨x,y⟩}dμ(y).

Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) û ∈ L^{∞} und ∥ û ∥_{L^{∞}}≤∥ u ∥_{L^{1}(μ)} . (ii) Für u, v ∈ L^{1}(μ) gilt û ∗ v = û v̂ , wobei (u ∗ v)(x) := \begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} u(x − y) v(y) dμ(y) die

Faltung von u und v bezeichnet. (iii) Für u, Du ∈ L^{1}(μ) gilt (D̂u)(x) = (ix)û(x) . (iv) Für u, v ∈ L^{1}(μ) mit v(y) = (−iy)u(y) gilt v̂ = D(û) .

(v) Es sei u ∈ C^{2}(IR^{n}) mit u, Du, D^{2}u ∈ L^{1}(μ) und u erfülle −Δu = f . Dann gilt |x|^{2}û(x) = f̂(x).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 2.11.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.