MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 2.11.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 3.Übung

\underline{AUFGABE 9:} (Greensche Formel) Es sei Ω ⊆ IR^{n} offen mit C^{1}-Rand. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Für u ∈ C^{1}(Ω, IR), V ∈ C^{1}(Ω, IR^{n}) gilt

div (u V) = grad u · V + u div V.

(ii) Für u ∈ C^{1}(\overline{Ω}, IR), V ∈ C^{1}(\overline{Ω}, IR^{3}) , gilt

∫_{Ω} grad u(x) · V (x)dx = − ∫_{Ω} u(x) div V (x)dx + ∫_{∂Ω} u(x) V (x) · ν dH^{n−1}(x)

(ii) Für u, v ∈ C^{2}(\overline{Ω}, IR) , gilt

∫_{Ω} (u(x) Δv(x) − Δu(x) v(x))dx = ∫_{∂Ω} (u(x)∂_{ν}v(x) − ∂_{ν}u(x)v(x)) dH^{n−1}(x)

\underline{AUFGABE 10:} (Rang Eins-Konvexität) Es sei Ω ⊆ IR^{n} offen. Betrachen Sie das Funktional

F (u) := ∫_{Ω} f(Du)dx

mit f(p) := det(p)^{2} +ε|p|^{2} und für u ∈ C^{1}(\overline{Ω}, IR^{n}) . Verifizieren Sie, daß F nicht konvex ist, wenn ε > 0 klein ist, und zeigen Sie, daß F rang eins-konvex ist. (Hinweis: Verwenden Sie, daß für g(p) := det(p) und h(p) := p^{−1} die Ableitungen durch Dg(I).q = tr(q) und Dh(p).q = −p^{−1}qp^{−1} gegeben sind.) \underline{AUFGABE 11:} (Schwaches Maximumprinzip) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} offen und u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{0}(\overline{Ω}) mit Δu = 0 . Zeigen Sie

sup_{Ω} u ≤ sup_{∂Ω} u.

(Hinweis: Schließen Sie innere, globale Maxima durch Widerspruch aus, indem Sie ε|x − x_{0}|^{2} zu u addieren.)

\underline{AUFGABE 12:} (Satz von Harnack) Es sei u_{1} ≤ u_{2} ≤ … eine monotone Folge harmonischer Funktionen, die auf der offenen, zusammenhängenden Menge Ω ⊆ IR^{n} harmonisch sind. Weiter gebe es ein x_{0} ∈ Ω mit u_{i}(x_{0}) → α ∈ IR . Zeigen Sie, daß (u_{i})_{i} gleichmäßig auf kompakten Teilmengen von Ω gegen eine harmonische Funktion u konvergiert. \underline{AUFGABE 13:} (Fourier-Transformierte des Newton-Potentials) Es sei μ := (2π)^{− \frac{n}{2}} L^{n} das normalisierte Lebesgue-Maß auf IR^{n} . Für u ∈ L^{1}(μ) sei die Fouriertransformierte û von u definiert durch

û(x) :=\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} u(y)e^{−i⟨x,y⟩}dμ(y).

Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Für u, v ∈ L^{1}(μ) mit v(y) = (−iy)u(y) gilt v̂ = D(û) .

(ii) Es sei u ∈ C^{2}(IR^{n}) mit u, Du, D^{2}u ∈ L^{1}(μ) und u erfülle −Δu = f . Dann gilt

|x|^{2}û(x) = f̂(x).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 9.11.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.