MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 9.11.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 4.Übung

\underline{AUFGABE 14:} (Faltung für Sobolev-funktionen) Zeigen Sie, daß W^{1,p}(IR^{n}) ein Banachraum ist. Zeigen Sie weiter, daß für f ∈ W^{1,p}(IR^{n})

φ_{ε} ∗ f → f in W^{1,p}(IR^{n}),

wobei φ_{ε}(x) := ε^{−n}φ(\frac{x}{ε}) und φ ∈ C_{c}^{∞}(B_{1}) mit ∫_{B_{1}} φ = 1 . \underline{AUFGABE 15:} (Eigenschaften der Fourier-Transformierten) Wie in Aufgabe 8 und 13 sei μ := (2π)^{− \frac{n}{2}} L^{n} das normalisierte Lebesgue-Maß auf IR^{n} . Für u ∈ L^{1}(μ) sei die Fouriertransformierte û von u definiert durch

û(x) :=\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} u(y)e^{−i⟨x,y⟩}dμ(y).

Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Für u ∈ L^{1}(μ), (τ_{a}u)(x) := u(x − a) gilt

ˆ(τ_{a}u)(x) = û(x)e^{−i⟨x,a⟩}.

(ii) Für u, v ∈ L^{1}(μ) gilt

\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} û(x) v(x)dμ(x) =\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} u(y) v̂(y)dμ(y)

(iii) Für u, φ ∈ L^{1}(μ) und φ_{ε}(x) := ε^{−n}φ(\frac{x}{ε}) mit ∫IR^{n} φ dμ = 1 gilt

∥ û − û ∗ φ_{ε} ∥_{L^{∞}(IR^{n})}→ 0

\underline{AUFGABE 16:} (Hebbarkeit von Singularitäten) Es sei u ∈ C^{2}(IR^{n}−{0}), f ∈ C_{c}^{2}(IR^{n}) und ∇u ∈ L^{2}(B_{1}) mit Δu = f in IR^{n}−{0}, n ≥ 2 . Zeigen Sie, daß u ∈ C^{2}(IR^{n}) und

Δu = f in IR^{n}.

\underline{AUFGABE 17:} (Greensche Funktion) Es sei Ω ⊂⊂ IR^{n} mit C^{2}−Rand und G : D := Ω × Ω − {(x, x) | x ∈ Ω } sei die Greensche-Funktion. Für x ∈ Ω nehmen wir (y ↦ G(x, y)) ∈ C^{1}(\overline{Ω} − \{x\}) an. Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) G > 0 auf D .

(ii) G ist symmetrisch in den Argumenten, d.h.

G(x, y) = G(y, x)

für x ≠ y ∈ Ω .

(iii) G ∈ C^{∞}(D) .

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 16.11.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.