MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 16.11.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 5.Übung

\underline{AUFGABE 18:} (Inversion und Eindeutigkeit der Fourier-Transformierten) μ sei wie in Aufgabe 8,13,15 definiert. Zeigen Sie folgenden Aussagen.

(i) Für Φ_{ε}(x) := ε^{−n}Φ(\frac{x}{ε}) mit Φ(x) := exp(−\frac{|x|^{2}}{2} ) gilt

ˆΦ̂_{ε} = Φ_{ε}.

(Hinweis: Verwenden Sie aus der Vorlesung, daß Φ̂ = Φ .)

(ii) Für u ∈ L^{1}(μ) , das û ∈ L^{1}(μ) erfüllt, gilt die Inversionsformel, d.h.

u(x) =\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} û(y)e^{i⟨x,y⟩}dμ(y).

(Hinweis: Zeigen Sie mit Aufagbe 15(i), daß \begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} û(y)e^{i⟨x,y⟩}dμ(y) =

lim_{ε→0}\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} ˆ (τ_{−x}u)(y) Φ̂_{ε}(y)dμ(y) und wenden Sie dann (i) und 15(ii) an.)

(iii) Für u, v ∈ L^{1}(μ) mit û = v̂ folgt u = v .

\underline{AUFGABE 19:} Es sei u_{0} ∈ C^{0} ∩ L^{∞}(IR^{n}) und

u(t, x) :=\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} θ(t, x − y) u_{0}(y)dy,

wobei θ(t, x) := \frac{1}{(4πt)^{\frac{n}{2}}} exp(−\frac{|x|^{2}}{4t}) der Wärmeleitungskern ist. Zeigen Sie, daß die Anfangsdaten u_{0} stetig angenommen werden, d.h.

lim_{(t,x)→(0,x_{0})} u(t, x) = u_{0}(x_{0}).

(Hinweis: Vergleiche mit Satz von H.A. Schwarz.)

\underline{AUFGABE 20:} Es sei Ω ⊆ IR^{n} offen, beschränkt und mit C^{1}−Rand. Für T > 0 sei Ω_{T} := Ω×]0, T [ . Wir betrachten u ∈ C^{2,1}(Ω_{T}) ∩ C^{1,0}(\overline{Ω_{T}}), f ∈ C^{0}(\overline{Ω_{T}}), u_{0} ∈ C^{0}(\overline{Ω}) mit

∂_{t}u − Δu = f in Ω_{T} ,
u(0, .) = u_{0} in Ω × {0},
u = 0 auf (∂Ω) × [0, T].

Zeigen Sie die Abschätzung

sup_{t∈[0,T]} ∫_{Ω} |u(t, x)|^{2}dx + ∫_{0}^{T} ∫_{Ω} |∇u(s, x)|^{2}dxds ≤ C(T)(∫_{Ω} |u_{0}(x)|^{2}dx + ∫_{0}^{T} ∫_{Ω} |f(s, x)|^{2}dxds)

(Hinweis: Multiplizieren Sie die Differentialgleichung mit u und wenden Sie das Lemma von Gronwall an.) \underline{AUFGABE 21:} (Lemma von Gronwall) Es seien κ ∈ L^{1}(0, T), κ ≥ 0 und y, A ∈ L^{∞}(0, T) , die

y(t) ≤ A(t) + ∫_{0}^{t} κ(s)y(s)ds

für 0 ≤ t ≤ T erfüllen. Zeigen Sie, daß die Abschätzung

y(t) ≤ sup_{s∈[0,t]} |A(s)| exp(∫_{0}^{t} κ(s)ds)

für 0 ≤ t ≤ T .

Bearbeiten Sie drei der vier Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 23.11.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.