MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 23.11.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 6.Übung

\underline{AUFGABE 22:} (Transportgleichung) Bestimmen Sie eine Lösung der Transportgleichung

\begin{matrix}∂_{t}u − ⟨Du, b⟩ = f auf IR^{n} × [0, ∞[, \\ u(x, 0) = g(x), \end{matrix}

wobei g ∈ C^{0}(IR^{n}), f ∈ C^{0}(IR^{n} × [0, ∞[) und b ∈ IR^{n} fest ist. \underline{AUFGABE 23:} (Abklingen in L^{∞}) Zeigen Sie für die Lösung der homogenen Wellengleichung u auf IR^{3}, mit u(., 0) = u_{0} ∈ C_{c}^{3}(IR^{3}), ∂_{t}u(., 0) = v_{0} ∈ C_{c}^{2}(IR^{3}) , daß

lim sup_{t→∞} t ∥ u(., t) ∥_{L^{∞}(IR^{3})}< ∞.

\underline{AUFGABE 24:} (Lösungen der Wellengleichung mit Fouriertransformierten) Wir betrachten eine Lösung u ∈ C^{2}(IR^{n} × [0, ∞[) der Wellengleichung, d.h.

∂_{t}^{2}u − Δu = 0 auf IR^{n} × [0, ∞[,
u(x, 0) = 0,
∂_{t}u(x, 0) = g(x),

wobei g ∈ C_{c}^{∞}(IR^{n}) . Leiten Sie eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Fouriertransformierte û her und geben Sie eine Integraldarstellung von u in Termen von ĝ an. \underline{AUFGABE 25:} (Equipartition der Energie) Für eine Lösung u ∈ C^{2}(IR × [0, ∞[) der eindimensionalen Wellengleichung, d.h.

∂_{t}^{2}u − Δu = 0 auf IR × [0, ∞[,
u(x, 0) = g(x),
∂_{t}u(x, 0) = h(x),

wobei g, h ∈ C_{c}^{∞}(IR) , sei k(t) := \frac{1}{2} ∫ ; IR |u_{t}(x, t)|^{2}dx die kinetische Energie und

p(t) := \frac{1}{2} ∫ ; IR |u_{x}(x, t)|^{2}dx die potentielle Energie. Zeigen Sie, daß die Summe der En-

ergien k(t)+p(t) konstant ist. Zeigen Sie weiter, daß für große Zeiten die Energien gleich sind, d.h. k(t) = p(t) .

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 30.11.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.