MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 30.11.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 7.Übung

\underline{AUFGABE 26:} (Algebra der Sobolevfunktionen) Zeigen Sie, daß W^{1,p}(IR^{n}), p > n , eine Banachalgebra ist, insbesondere, daß die Abschätzung

∥ u v ∥_{W^{1,p}(IR^{n})}≤ C ∥ u ∥_{W^{1,p}(IR^{n})} ∥ v ∥_{W^{1,p}(IR^{n})}

gilt. \underline{AUFGABE 27:} (Plancherel-Transformation) Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Für u ∈ C_{c}^{∞}(IR^{n}) gilt

∥ û ∥_{L^{2}(μ)}=∥ u ∥_{L^{2}(μ)} .

(Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 15(ii), den Inversionssatz Aufgabe 18(ii) und beachten Sie, daß ∥ u ∥_{L^{2}(μ)}^{2}= \begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} u(x)\overline{u(x)}dμ(x) , wobei ū die komplex kon-

jugierte von u ist.)

(ii) Es gibt genau eine lineare, orthogonale Abbildung F : L^{2}(μ) → L^{2}(μ) , die

Fu = û

für u ∈ L^{1}(μ) ∩ L^{2}(μ) erfüllt.

\underline{AUFGABE 28:} (Kritische Einbettung, isolierte Singularitäten) Zeigen Sie, daß die Funktion u(x) := log(log(\frac{e}{|x|})) für n ≥ 2 in W^{1,n}(B_{1}(0)) liegt, aber unbeschränkt ist. Zeigen Sie weiter für n = 2 , daß u eine schwache Lösung der Gleichung −Δu = |Du|^{2} ist, d.h.

∫_{B_{1}(0)} ⟨Du, Dφ⟩dx = ∫_{B_{1}(0)} |Du|^{2}φdx

für φ ∈ C_{c}^{∞}(B_{1}(0)) . \underline{AUFGABE 29:} (Sobolevabbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten) Es sei W_{loc}^{1,2}(IR^{3}, S^{2}) := {u ∈ W_{loc}^{1,2}(IR^{3}, IR^{3}) | |u(x)| = 1 fast überall } . Zeigen Sie, daß u(x) := \frac{x}{|x|} in diesem Raum liegt, aber nicht durch glatte Funktionen in diesem Raum approximiert werden kann, d.h H ≠ W . (Hinweis: Es sei ω die Flächenform auf S^{2} , d.h. ⟨ω(x), ξ ∧ η⟩ := det(x, ξ, η) . Für glatte Abbildungen v gilt dann dv^{∗}ω = v^{∗}dω = 0 . Dagegen erfüllt du^{∗}ω = 4πδ_{0} im Distributionssinn, d.h. −\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{3} \end{matrix} dη ∧ u^{∗}ω = 4πη(0) für η ∈ C_{c}^{∞}(IR^{3}) . Rechnen Sie dies

nach und folgern Sie die Behauptung.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 7.12.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.