MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 7.12.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 8.Übung

\underline{AUFGABE 30:} (Schwache Differenzierbarkeit von Integralen)

Es sei g ∈ L_{loc}^{1}(IR) und f(x) := ∫_{0}^{x} g(t)dt . Zeigen Sie f ∈ W_{loc}^{1,1}(IR) und Df = g .

\underline{AUFGABE 31:} (Poincaré Ungleichung auf einem Streifen) Es sei u ∈ W^{1,p}(IR^{n}), 1 ≤ p < ∞ , dessen Träger in einem Streifen liegt, d.h. spt(u) ⊆ S := {x ∈ IR^{n} | 0 < x_{n} < d } . Zeigen Sie

∥ u ∥_{L^{p}(S)}≤ d ∥ ∇u ∥_{L^{p}(S)}

\underline{AUFGABE 32:} (Campanato Räume) Es sei u ∈ L_{loc}^{p}(IR^{n}), 1 ≤ p < ∞ und α > 1 für die

[u]_{p,α} := sup{r^{−α}ω_{p}(u, x, r) | x ∈ IR^{n}, r > 0 } ≤ C < ∞,

wobei ω_{p}(u, x, r) := (− ∫_{B_{r}(x)} |u(y) − u_{x,r}|^{p}dy)^{\frac{1}{p}} und u_{x,r} := − ∫_{B_{r}(x)} u(y)dy . Zeigen Sie, daß u ≡ const gilt. (Hinweis: Glätten Sie u oder gehen Sie den Beweis des Lemmas von Campanato durch.) \underline{AUFGABE 33:} (Fourier-Transformation und Sobolevräume) Zeigen Sie, daß für u ∈ L^{1}(IR^{n}) gilt:

u ∈ W^{m,2}(IR^{n}) ⟺ (x ↦ (1 + |x|^{m})û(x)) ∈ L^{2}(IR^{n}).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 14.12.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.