MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 14.12.1998 Dr. R. Schätzle

Theorie partieller Differentialgleichungen I WS 1998/99 9.Übung

\underline{AUFGABE 34:} ( W^{1,∞}(IR^{n}) = C^{0,1}(IR^{n}) ) Zeigen Sie, daß jede beschränkte, lipschitzstetige Funktion f auf IR^{n} beschränkte schwache Ableitungen besitzt, also in W^{1,∞}(IR^{n}) liegt. (Hinweis: Glätten Sie f .) \underline{AUFGABE 35:} (Dualraum von W^{1,2}(IR^{n}) ) Für F = (f_{0}, …, f_{n}) ∈ L^{2}(IR^{n}, IR^{n+1}) sei Λ_{F} : W^{1,2}(IR^{n}) → IR definiert durch

Λ_{F} (u) :=\begin{matrix}∫ \\ IR & ^{n} \end{matrix} f_{0}u + (f_{1}, …, f_{n})∇u

für u ∈ W^{1,2}(IR^{n}) . Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Λ_{F} ist stetig, linear und erfüllt

∥ Λ_{F} ∥≤∥ F ∥_{L^{2}} .

(ii) Zu jedem Γ ∈ (W^{1,2}(IR^{n}))′ gibt es ein F ∈ L^{2}(IR^{n}, IR^{n+1}) mit Γ = Λ_{F} .

(iii) Für F = (f_{0}, …, f_{n}) ∈ L^{2}(IR^{n}, IR^{n+1}) gilt

Λ_{F} = 0 ⟺ div (f_{1}, …, f_{n}) = f_{0} schwach in IR^{n}.

Zusammenfassend: Λ : L^{2}(IR^{n}, IR^{n+1}) → (W^{1,2}(IR^{n}))′ mit (F ↦ Λ_{F}) ist stetig, linear und hat Norm ≤ 1 . Weiter ist Λ surjektiv und ker Λ = {(f_{0}, …, f_{n}) | div (f_{1}, …, f_{n}) = f_{0} } . \underline{AUFGABE 36:} (Trennungssatz für konvexe Mengen) Zeigen Sie folgende Aussagen.

(i) Es sei C ⊆ X eine konvexe Teilmenge eines Vektorraumes X . Es gibt zu jedem sublinearen Funktional p : X → IR ein lineares Funktional f : X → IR mit f ≤ p und inf_{C} p = inf_{C} f . (Hinweis: Betrachten Sie das sublineare Funktional p̃(x) := inf{p(x + ty) − tα | y ∈ C, t > 0} mit α = inf_{C} p .)

(ii) Nun seien A, B zwei nichtleere, konvexe Teilmengen eines Banachraumes, die postiven Abstand haben. Dann gibt es ein stetiges, lineares Funktional f auf X und γ ∈ IR so, daß

sup_{B} f < γ < inf_{A} f.

(Hinweis: Wenden Sie (i) auf C := A − B und p =∥ . ∥ an.)

(iii) Konvexe, abgeschlossene Mengen sind schwach abgeschlossen.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 21.12.1998, von 9^{00} Uhr bis 9^{10} Uhr.