MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 19. Oktober 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 1

\underline{AUFGABE 1:} Sei

ℓ^{p} := {x = (x^{i})_{i∈ℕ} : x^{i} ∈ ℝ, ∥x∥_{p} = ( ∑_{i=1}^{∞} |x^{i}|^{p})^{1/p} < ∞}

für ein p ∈ [1, ∞). Zeigen Sie, daß (ℓ^{p}, ∥ · ∥_{p}) ein Banachraum ist.

\underline{AUFGABE 2:} Zeigen Sie, daß auf C^{0}([0, 1]) durch

∥u∥_{L^{2}} := ( ∫_{0}^{1} |u(x)|^{2}dx)^{1/2}

eine Norm definiert ist, daß aber (C^{0}([0, 1]), ∥ · ∥_{L^{2}}) kein Banachraum ist.

\underline{AUFGABE 3:} Sei (X, d) ein metrischer Raum, Y ⊂ X. Man zeige:

(i) Ist (Y, d) vollständig, so ist Y ⊂ X abgeschlossen.

(ii) Ist (X, d) vollständig und Y abgeschlossen, so ist (Y, d) vollständig.

\underline{AUFGABE 4:} Es seien X := (C^{0}([0, 1]), ∥ · ∥_{∞}) und V := C^{∞}([0, 1]). Man zeige für u ∈ X:

dist(u, V) = 0.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Mittwoch, 27.10.1999.