MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 20. Dezember 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 10

\underline{AUFGABE 1:} Zeigen Sie für einen linearen Operator T : X → Y zwischen Hilberträumen, daß ∥T^{∗}∥ = ∥T ∥. (vgl. §8, Folgerung 5).

\underline{AUFGABE 2:} Beweisen Sie, daß der Raum W^{1,p}(Ω) für 1 ≤ p < ∞ separabel und reflexiv ist. Anleitung: Verwenden Sie die Abbildung J : W^{1,p}(Ω) → L^{p}(Ω, ℝ × ℝ^{n}), Ju = (u, Du).

\underline{AUFGABE 3:} Zeigen Sie für I = (0, 1) ⊂ ℝ die stetige Inklusion W^{1,p}(I) ⊂ C^{0,1− \frac{1}{p}} (I) (1 ≤ p ≤ ∞).

\underline{AUFGABE 4:} Es sei f_{ε}(x) := \begin{matrix}√ & \overline{ε} \\ √ & \overline{ε^{2}+x^{2}} \end{matrix} . Zeigen Sie, daß ∥f_{ε}∥_{L^{2}(ℝ)} = \sqrt{π} und daß f_{ε} schwach gegen 0 konvergiert in L^{2}(ℝ). Zeigen Sie demgegenüber, daß ∫ f_{ε}^{2}(x)φ(x)dx → πφ(0) für φ ∈ C_{c}^{0}(ℝ).

Bearbeiten Sie bitte 4 der 5 Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 10.1.2000.