MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 7. Januar 2000 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 11

\underline{AUFGABE 1:} (Dualraum von W_{0}^{1,2}(Ω)) Sei X = L^{2}(Ω) × L^{2}(Ω, ℝ^{n}). Betrachten Sie die Abbildungen J : W_{0}^{1,2}(Ω) → X, Ju = (u, Du) und P : X → W_{0}^{1,2}(Ω)′, P (f, F)(u) = ∫_{Ω} fu + ⟨F, Du⟩. Die Norm auf W_{0}^{1,2}(Ω) sei so gewählt, daß J isometrisch einbettet. Zeigen Sie:

(1) X = ker P ⊕ Bild J. (Orthogonale Zerlegung in abgeschlossene Unterräume).

(2) P ist surjektiv, und für φ ∈ W_{0}^{1,2}(Ω)′ gilt ∥φ∥ = inf{∥(f, F)∥_{L^{2}} : P (f, F) = φ}.

\underline{AUFGABE 2:} (Kettenregel für schwache Ableitung) Sei u ∈ L_{loc}^{1}(Ω) mit Du ∈ L_{loc}^{1}(Ω). Zeigen Sie, daß dann auch |u| ∈ W_{loc}^{1,1}(Ω) gilt, und zwar mit D(|u|) = sign(u)Du. Anleitung: Approximieren Sie die Betragsfunktion durch f_{ϵ}(z) = \sqrt{z^{2} + ϵ^{2}}.

\underline{AUFGABE 3:} (Natürliche Randbedingung ) Begründen Sie für das Randwertproblem

(1) −div(aDv) = f in Ω, Dv · aν auf ∂Ω (ν die äußere Einheitsnormale) die schwache Formulierung

(2) ∫_{Ω}⟨Du, aDv⟩ = ∫_{Ω} fu für alle u ∈ W^{1,2}(Ω), wobei a elliptisch, symmetrisch und beschränkt. Dazu ist zu zeigen, daß (1) und (2) unter geeigneten Regularitätsbedingungen an Ω, a, f und v äquivalent sind. Beweisen Sie außerdem, daß eine Lösung v von (2) das Funktional Q(u) = \frac{1}{2} ∫_{Ω}⟨Du, aDu⟩− ∫_{Ω} fu auf dem Raum W^{1,2}(Ω) minimiert.

\underline{AUFGABE 4:} (Greenscher Operator) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt sowie a ∈ L^{∞}(Ω, M_{n}(ℝ)) elliptisch. Betrachten Sie G = I ∘ L^{−1} ∘ I′ : L^{2}(Ω) → L^{2}(Ω) mit L : W_{0}^{1,2}(Ω) → W_{0}^{1,2}(Ω)′, (Lv)(u) = ∫_{Ω}⟨Du, aDv⟩, I : W_{0}^{1,2}(Ω) → L^{2}(Ω), Iv = v und I′ : L^{2}(Ω) → W_{0}^{1,2}(Ω)′, (I′f)(u) = ∫_{Ω} fu. Verifizieren Sie LGf = f und zeigen Sie im Fall a symmetrisch, daß G bzgl. ⟨·, ·⟩_{L^{2}} ein selbstadjungierter Operator ist, also G = G^{∗}. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 17.1.2000.