MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 17. Januar 2000 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 12

\underline{AUFGABE 1:} (Kompakte Einbettungen) Seien X_{1} ⊂ X_{2} ⊂ X_{3} stetige Inklusionen von Banachräumen, und X_{1} ⊂ X_{2} sogar kompakt. Beweisen Sie durch Widerspruch für ε > 0 die Existenz einer Konstanten c(ε) < ∞ mit

∥x∥_{2} ≤ ε∥x∥_{1} + c(ε)∥u∥_{3} ∀x ∈ X_{1}.

Folgern Sie für 0 ≤ β < α, Ω offen und beschränkt,

[u]_{β,Ω} ≤ ε[u]_{α,Ω} + c∥u∥_{C^{0}(Ω)} ∀u ∈ C^{0,α}(\overline{Ω}).

Dabei ist [u]_{α,Ω} die α-Hölderkonstante von u und c = c(ε, α, β, Ω).

\underline{AUFGABE 2:} (Hilbert-Schmidt-Integraloperatoren) Betrachten Sie für k ∈ L^{2}(I × I, ℂ), I = (0, 1), den Operator K : L^{2}(I, ℂ) → L^{2}(I, ℂ) mit (Kf)(x) = ∫_{I} k(x, y)f(y)dy. Beweisen Sie der Reihenfolge nach:

a) K ist wohldefiniert und stetig mit ∥K∥ ≤ ∥k∥_{L^{2}(I×I,ℂ)}.

b) Der Operator K^{∗} (Hilbertraumadjungierte) hat eine entsprechende Integraldarstellung, und zwar mit k^{∗}(x, y) = \overline{k(y, x)}.

c) K ist ein kompakter Operator (verwenden Sie, daß Linearkombinationen von Produktfunktionen w(x, y) = u(x)v(y) dicht in L^{2}(I × I) sind).

\underline{AUFGABE 3:} Bestimmen Sie die Hilbertraumadjungierte des Ableitungsoperators

D : W_{0}^{1,2}(Ω) → L^{2}(Ω, ℝ^{n}).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 24.1.2000.