MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 24. Januar 2000 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 13

\underline{AUFGABE 1:} Betrachten Sie für I = (0, ∞) und λ ∈ ℝ \ {0} A_{λ} : W_{0}^{1,2}(I) → L^{2}(I), A_{λ}u = u′ + λu. Beweisen Sie folgende Aussagen:

(1) ∥u′∥_{L^{2}} ≤ ∥A_{λ}u∥_{L^{2}}, ∥u∥_{L^{2}} ≤ \frac{1}{|λ|}∥A_{λ}u∥_{L^{2}}.

(2) A_{λ} ist injektiv und hat abgeschlossenes Bild.

(3) (BildA_{λ})^{⊥} = {0} und ind(A_{λ}) = 0 für λ > 0, (BildA_{λ})^{⊥} = Span{e^{λx}} und ind(A_{λ}) = −1 für λ < 0.

(4) Der Operator A_{0}u = u′, das heißt λ = 0, ist injektiv, jedoch ist BildA_{0} dicht und nicht abgeschlossen.

(Hinweis: Verwenden Sie die Vertauschbarkeit von Glättung und schwacher Ableitung.)

\underline{AUFGABE 2:} Zeigen Sie, daß das unendliche Gleichungssystem

x_{i} + ∑_{j=1}^{∞} a_{ij}x_{j} = b_{i} (1 ≤ i < ∞)

für jedes b ∈ ℓ^{2}(ℝ) eine eindeutige Lösung x ∈ ℓ^{2}(ℝ) besitzt, falls für jedes N ∈ ℕ die Matrix (a_{ij})_{1≤i,j≤N} positiv semidefinit ist und falls ∑_{i,j=1}^{∞} a_{ij}^{2} < ∞.

\underline{AUFGABE 3:} (Lösbarkeit des Neumannproblems) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} ein beschränktes Gebiet mit C^{1}-Rand. Für a ∈ L^{∞}(Ω, M_{n}(ℝ)) und q ∈ L^{∞}(Ω) sei L der schwach definierte Operator L : W^{1,2}(Ω → W^{1,2}(Ω)′, Lv = −div(aDv) + qv. Dabei sei a symmetrisch und elliptisch mit Konstante μ > 0. Zeigen Sie:

(1) L ist Isomorphismus, falls q(x) ≥ λ > 0 für alle x ∈ Ω.

(2) L ist ein Fredholmoperator mit Index Null.

(3) Für die Existenz einer schwachen Lösung des Neumannproblems −div(aDv) = f mit f ∈ L^{2}(Ω), Dv · aν = 0 auf ∂Ω ist die Bedingung ∫_{Ω} f = 0 notwendig und hinreichend.

(Hinweis: Die Einbettung W^{1,2}(Ω) ⊂ L^{2}(Ω) ist für beschränkte C^{1}-Gebiete kompakt (Satz von Rellich); dies soll ohne Beweis benutzt werden.)

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 31.1.2000.