MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 7. Februar 2000 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 15

\underline{AUFGABE 1:} Beweisen Sie, daß für I = [0, 1] der Operator K : C^{0}(I) → C^{0}(I), (Kf)(x) = ∫_{0}^{x} f(ξ)dξ kompakt ist, aber keinen Eigenwert besitzt.

\underline{AUFGABE 2:} Sei X ein reeller Hilbertraum, K ∈ L(X, X) kompakt, selbstadjungiert und positiv semidefinit (also ⟨Kx, x⟩ ≥ 0 ∀x). Zeigen Sie, daß Eigenwerte λ_{k} und Eigenvektoren v_{k} (k ≥ 1) auch induktiv wie folgt bestimmt werden können:

λ_{k} = sup{⟨Kx, x⟩ : ∥x∥ = 1, x⊥V_{k}},

v_{k} = zugehörige Maximumstelle,

V_{k} = span{v_{1}, ..., v_{k}} und V_{0} = {0}.

Werden hierdurch alle Eigenvektoren erfaßt?

\underline{AUFGABE 3:} Betrachten Sie auf L^{2}(I), I = [0, 1] den Hilbert-Schmidt-Integraloperator

(Gv)(x) = ∫_{I} g(x, y)v(y)dy

mit

g(x, y) = \{ \begin{matrix}(1 − x)y & für & 0 ≤ y ≤ x \\ (1 − y)x & für & x ≤ y ≤ 1 \end{matrix}

Zeigen Sie: Die Eigenwerte von G sind (\frac{1}{jπ} )^{2}, j ∈ ℕ, mit Eigenfunktionen v_{j} = sin(jπx). Die Eigenfunktionen bilden eine Hilbertbasis von L^{2}(I). Diskutieren Sie mit dem Ansatz

f = ∑_{j=1}^{∞} c_{j}v_{j} die Lösbarkeit der Gleichung (G − λid)v = f.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 14.2.2000.