MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 26. Oktober 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 2

\underline{AUFGABE 1:} (Fortsetzungsprinzip) Es seien X, Y metrische Räume und A ⊂ X eine dichte Teilmenge. Zeigen Sie: Ist f : A ⟶ Y gleichmäßig stetig, dann hat f eine eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung F : X ⟶ Y, und diese ist gleichmäßig stetig.

\underline{AUFGABE 2:} (Vervollständigung) Seien X ein normierter Raum mit induzierter Metrik d(x, y) = ∥x − y∥ und (X̂, d̂) seine Vervollständigung. Zeigen Sie, daß X̂ kanonisch ein Banachraum ist.

\underline{AUFGABE 3:} (Norm von Fredholmintegraloperatoren) Seien I = [0, 1], k ∈ C^{0}(I × I) und

K : C^{0}(I) ⟶ C^{0}(I), (Kf)(x) = ∫_{I} k(x, y)f(y) dy.

Berechnen Sie die Operatornorm von K bezüglich der Supremumsnorm ∥ · ∥_{L^{∞}} auf C^{0}(I).

\underline{AUFGABE 4:} (Klassische Funktionenräume) Sei Ω ⊂ ℝ^{n} offen und beschränkt, und für k ∈ ℕ_{0} sei

C^{k}(\overline{Ω}) = \{u ∈ C^{k}(Ω) : alle Ableitungen ∂_{α}u der Ordnung
|α| ≤ k sind stetig auf \overline{Ω} fortsetzbar\}.

Zeigen Sie, daß C^{k}(\overline{Ω}) mit der Norm ∥u∥_{C^{k}(Ω)} = ∑_{|α|≤k} ∥∂_{α}u∥_{L^{∞}(Ω)} ein Banachraum ist.

Hinweis: Betrachten Sie erst die Fälle k = 0 und k = 1.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Mittwoch, der 03.11.1999.