MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 3. November 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 3

\underline{AUFGABE 1:} (Kompaktheit von Fredholmoperatoren) Seien I = [0, 1], k ∈ C^{0}(I × I) und

K : C^{0}(I) ⟶ C^{0}(I), (Kf)(x) = ∫_{I} k(x, y)f(y) dy.

Zeigen Sie, daß {Kf : ∥f∥_{C^{0}(I)} ≤ 1} relativ kompakt in C^{0}(I) ist und folgern Sie hieraus, daß Id + K einen endlichdimensionalen Kern hat.

\underline{AUFGABE 2:} (Mengen in ℓ^{2}) Untersuchen Sie folgende Mengen auf Beschränktheit und Kompaktheit:

E_{1} = \{x ∈ ℓ^{2} : |x^{i}| ≤ \frac{1}{\sqrt{i}} für alle i\} ,
E_{2} = {x ∈ ℓ^{2} : ∑_{i=1}^{∞} (x^{i})^{2} ≤ 1} ,

E_{3} = \{x ∈ ℓ^{2} : |x^{i}| ≤ \frac{1}{i} für alle i\} .

\underline{AUFGABE 3:} (Hausdorffabstand) Sei A die Menge der nichtleeren, abgeschlossenen und beschränkten Teilmengen von ℝ^{n}. Zeigen Sie:

a) d(A_{1}, A_{2}) = inf{ϵ > 0 : A_{1} ⊂ B_{ϵ}(A_{2}), A_{2} ⊂ B_{ϵ}(A_{1})} ist eine Metrik auf A.

b) Die Menge \{A ∈ A : A ⊂ \overline{B_{R}(0)}\} ist kompakt.

Hinweis: Wenden Sie für b) den Satz von Arzelà-Ascoli auf die Funktionen f_{A} : \overline{B_{R}(0)} ⟶ [0, ∞), f_{A}(x) = dist (x, A) an.

\underline{AUFGABE 4:} (Endlichdimensionale Komplemente) Sei V ein abgeschlossener Unterraum des normierten Raumes X mit Kodimension dim X/V = N < ∞. Bestimmen Sie ein Komplement W, also X = V ⊕ W (direkte Summe). Geben Sie einen Isomorphismus

Φ : (V × W, ∥(v, w)∥ = ∥v∥ + ∥w∥) ⟶ (X, ∥ · ∥)

an (d.h. Φ, Φ^{−1} sind stetig).

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, der 08.11.1999.