MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 8. November 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 4

\underline{AUFGABE 1:} Zeigen Sie, daß die Abbildung

I : L^{1}(ℝ) ⟶ L^{∞}(ℝ)′, I(f)(g) = ∫_{ℝ} fg

isometrisch (normerhaltend) ist, jedoch nicht surjektiv. Konstruieren Sie dazu ein ϕ ∈ L^{∞}(ℝ)′ mit ϕ(g) = g(0) für jedes g ∈ (L^{∞} ∩ C^{0})(ℝ).

\underline{AUFGABE 2:} Weisen Sie die Stetigkeit des Operators

L : C^{2,α}(\overline{Ω}) ⟶ C^{0,α}(\overline{Ω}), Lu = ∑_{i,j=1}^{n} a^{ij}∂_{ij}^{2}u + ∑_{i=1}^{n} b^{i}∂_{i}u + qu

nach, falls a^{ij}, b^{i}, q ∈ C^{0,α}(\overline{Ω}).

\underline{AUFGABE 3:} Sei ℓ^{∞}(ℝ) der Vektorraum der beschränkten, reellen Folgen mit Norm ∥x∥_{∞} = sup_{i∈ℕ} |x^{i}|. Konstruieren Sie ein Funktional Φ ∈ ℓ^{∞}(ℝ)′ mit ∥Φ∥ = 1 und folgenden Eigenschaften:

a) Φ(x) = lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{i=1}^{n} x^{i}, falls der Grenzwert existiert,

b) lim inf_{i→∞} x^{i} ≤ Φ(x) ≤ lim sup_{i→∞} x^{i},

c) Φ((x^{1}, x^{2}, x^{3}, …)) = Φ((x^{2}, x^{3}, …)).

\underline{AUFGABE 4:} Sei M ⊂ ℝ^{n} konvex. Zeigen Sie, daß in jedem x_{0} ∈ ∂M eine Stützhyperebene existiert, d.h. es gibt ein ν ∈ ℝ^{n}, |ν| = 1, mit

M ⊂ {x : ⟨x − x_{0}, ν⟩ ≥ 0}.

\underline{AUFGABE 5:} Sei X Vektorraum und A ⊂ X. Es bezeichne

conv (A) := {∑_{i=1}^{k} α_{i}x_{i} : k ∈ ℕ, x_{i} ∈ A, α_{i} ≥ 0, ∑ α_{i} = 1}

die konvexe Hülle von A. Zeigen Sie:

a) conv (A) ist konvex und conv (A) = ⋂ U, U ⊇ A, U ist konvex

b) A offen ⟹ conv (A) offen

c) A konvex ⟹ \overline{A}, ^{∘} A konvex

d) Zeigen Sie an einem Beispiel, daß conv (A) nicht abgeschlossen zu sein braucht, falls A abgeschlossen ist.

Bearbeiten Sie vier der fünf Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, der 15.11.1999.