MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 15. November 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 5

\underline{AUFGABE 1:} Beweisen Sie die Folgerungen 4 und 5 aus §3 der Vorlesung. Folgerung 4: A, B konvex, A ∩ B = ∅, A abgeschlossen, B kompakt. Dann können A, B strikt getrennt werden. Folgerung 5: K konvex, 0 ∉ K. Dann gibt es φ ∈ X′ mit ∥φ∥ = 1 und φ(x) ≤ −dist(0, K) ∀x ∈ K.

\underline{AUFGABE 2:} Sei X ein Banachraum, Y normierter Raum und T_{n} ∈ L(X, Y) für n ∈ ℕ punktweise konvergent, d.h. für x ∈ X existiert T (x) := lim_{n→∞} T_{n}x. Zeigen Sie:

(1) T ∈ L(X, Y) und ∥T ∥ ≤ lim inf_{n→∞} ∥T_{n}∥.

(2) Finden Sie ein Beispiel für ” < ” in der Ungleichung (1).

\underline{AUFGABE 3:} Zeigen Sie, daß eine Teilmenge eines Banachraumes genau dann beschränkt ist, wenn gilt:

sup{φ(x) : x ∈ A} < ∞ für alle φ ∈ X′.

\underline{AUFGABE 4:} Seien P, Q : X → X linear mit [P, Q] := P Q − QP = id. Dann können nicht P und Q beide stetig sein. Hinweis: Zeigen Sie P Q^{n} − Q^{n}P = nQ^{n−1}.

\underline{AUFGABE 5:} Seien X, Y Banachräume und T : D(T) → Y (D(T) linearer Unterraum von X) eine lineare Abbildung. Dann heißt T abschließbar, falls \overline{graph(T)} wieder ein Graph ist. Zeigen Sie:

(1) T ist genau dann abschließbar, wenn stets gilt: Ist x_{n} ∈ D(T), x_{n} → 0, T x_{n} → y, so folgt y = 0.

(2) Betrachten Sie X = Y = L^{2}(Ω) für Ω ⊂ ℝ^{n} offen, sowie einen Differentialoperator der Ordnung k

T = ∑_{|α|≤k} a_{α}D^{α} mit a_{α} ∈ C^{∞}(Ω),

wobei D(T) = {u ∈ C^{∞}(Ω) : u ∈ X, T (u) ∈ Y }. Zeigen Sie, daß T abschließbar ist. Bearbeiten Sie vier der fünf Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 22.11.1999.