MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 23. November 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 6

\underline{AUFGABE 1:} Sei f_{n} ≥ 0 eine Folge integrierbarer Funktionen, die monoton fällt: f_{1} ≥ f_{2} ≥ f_{3} ≥ ... . Es gelte

lim_{n→∞} ∫ f_{n}dμ = 0.

Zeigen Sie, daß f_{n} fast überall gegen 0 konvergiert. Kann die Voraussetzung über die Monotonie dabei fallen gelassen werden?

\underline{AUFGABE 2:} Sei u ∈ C^{∞}(ℝ^{n}) mit

∫ |u| + ∫ |Du| < ∞.

Konstruieren Sie Funktionen u_{k} ∈ C_{c}^{∞}(ℝ^{n}) mit

∫ |u − u_{k}| + ∫ |Du − Du_{k}| → 0.

\underline{AUFGABE 3:} Finden Sie zu gegebenem u ∈ C^{0}(Ω), Ω ⊂ ℝ^{n} offen, eine Folge u_{j} ∈ C^{∞}(Ω) mit

sup_{x∈K} |u(x) − u_{j}(x)| → 0

für jede kompakte Teilmenge K ⊂⊂ Ω.

\underline{AUFGABE 4:} Die Cantormenge ist definiert als Schnitt ⋂_{n=0}^{∞} C_{k}, wobei C_{1} aus C_{0} := [0, 1] durch Entfernen des Intervalls I_{1} := (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) entsteht und C_{k} aus C_{k−1} durch Anwendung dieses Verfahrens auf die Teilintervalle von C_{k−1}. Definieren Sie eine Funktion f ∈ C^{0}([0, 1]), die auf I_{1} gleich \frac{1}{2}, auf den im zweiten Schritt entfernten Intervallen gleich \frac{1}{4} bzw. \frac{3}{4} usw. ist; dabei soll f monoton wachsend sein. Zeigen Sie, daß fast überall f′(x) = 0 gilt.

Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 29.11.1999. Entschuldigung für die Verspätung!