MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 29. November 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 7

\underline{AUFGABE 1:} Sei μ ein Maß auf X mit μ(X) = 1, und u : X → [0, ∞) meßbar. Bestimmen Sie die Grenzwerte, falls existent, der Funktion

ϕ(p) = (∫_{X} u^{p}dμ)^{1/p}

für p → ∞ und p → −∞.

\underline{AUFGABE 2:} In der Vorlesung wurde gezeigt, daß ℓ^{∞}(ℝ) nicht separabel ist. Folgern Sie: L^{∞}(μ) nicht separabel ⇔ dim L^{∞}(μ) < ∞.

\underline{AUFGABE 3:} Sei f ∈ L^{p}(ℝ^{n}), 1 ≤ p < ∞ und ξ ∈ ℝ^{n}. Dann konvergieren die Funktionen f_{h}(x) = \frac{1}{h} ∫_{0}^{h} f(x + tξ)dt für h ↘ 0 in L^{p}(ℝ^{n}) gegen f.

\underline{AUFGABE 4:} Bestimmen Sie die Dualräume der Folgenräume

c_{0} = {x ∈ ℓ^{∞}(ℝ) : lim_{i→∞} x^{i} = 0},

c = {x ∈ ℓ^{∞}(ℝ) : lim_{i→∞} x^{i} existiert}.

\underline{AUFGABE 5:} Sei X ein normierter ℝ-Vektorraum. Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Eigenschaften:

(i) X ist strikt normiert, d.h. für x, y ∈ X gilt

∥x + y∥ = ∥x∥ + ∥y∥ ⇒ x, y linear abhängig

(ii) Die Einheitskugel B_{1}(0) ⊂ X ist strikt konvex, d.h.

∥x∥ = ∥y∥ = 1, x ≠ y ⇒ ∥\frac{x + y}{2} ∥ < 1

(iii) Jede konvexe Teilmenge K ⊂ X besitzt höchstens ein Element minimaler Norm.

Bearbeiten Sie bitte 4 der 5 Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 6.12.1999.