MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 6. Dezember 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 8

\underline{AUFGABE 1:} Sei X ein reflexiver Banachraum und F : X → ℝ habe die folgenden Eigenschaften:

(i) F ist unterhalbstetig bzgl. schwacher Konvergenz:

x_{k} → x schwach ⇒ F (x) ≤ lim inf_{k→∞} F (x_{k})

(ii) F ist koerziv: lim_{∥x∥→∞} F (x) = ∞

(iii) F ist nach unten beschränkt: m = inf_{x∈X} F (x) > −∞.

Dann gibt es ein x_{0} ∈ X mit F (x_{0}) = m.

\underline{AUFGABE 2:} Beweisen Sie, daß in ℓ^{1}(ℝ) schwache und starke Konvergenz übereinstimmen. Hinweis: Begründen Sie erst, daß es ausreicht, eine stark konvergente Teilfolge zu bestimmen.

\underline{AUFGABE 3:} Sei X reflexiv und (x_{k})_{k∈ℕ} schwache Cauchyfolge, d.h. (φ(x_{k}))_{k∈ℕ} ist Cauchyfolge in ℝ für alle φ ∈ X′. Zeigen Sie, daß (x_{k})_{k∈ℕ} schwach konvergiert.

\underline{AUFGABE 4:} Eine beschränkte Folge (x_{k})_{k∈ℕ} konvergiert genau dann schwach gegen x ∈ X, falls gilt:

lim_{k→∞} φ(x_{k}) = φ(x) für alle φ ∈ D,

mit einer dichten Teilmenge D ⊂ X′.

\underline{AUFGABE 5:} Untersuchen Sie die Folge u_{k}(x) = sin(kx) auf punktweise sowie auf schwache Konvergenz in L^{2}((−π, π)).

Bearbeiten Sie bitte 4 der 5 Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 13.12.1999.