MATHEMATISCHES INSTITUT DER ALBERT-LUDWIGS-UNIVERSITÄT FREIBURG

Prof. Dr. E. Kuwert 13. Dezember 1999 T. Müller

Funktionalanalysis I WS 1999/00 Übungsblatt 9

\underline{AUFGABE 1:} Der Satz von Riesz (Vorlesung) besagt, daß die Abbildungen

J_{q} : L^{q}(μ) → (L^{p}(μ))′
(J_{q}v)(u) = ∫ uvdμ

surjektiv und isometrisch sind für 1 < p, q < ∞, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

(1) Zeigen Sie:

(J_{q}^{−1})′ : L^{q}(μ)′ → (L^{p}(μ))′′
ψ ↦ ψ ∘ J_{q}^{−1}

ist surjektiv.

(2) Sei

J : L^{p}(μ) → (L^{p}(μ))′′
(Ju)(φ) = φ(u)

die kanonische Einbettung. Zeigen Sie

J = (J_{q}^{−1})′ ∘ J_{p}.

Also ist L^{p}(μ) reflexiv.

\underline{AUFGABE 2:} Falls in einem Banachraum X die Folge (x_{k})_{k∈ℕ} schwach gegen x konvergiert, so konvergiert eine geeignete Folge von (endlichen) Konvexkombinationen stark gegen x.

\underline{AUFGABE 3:} Sei g ∈ L^{∞}(ℝ) periodisch: g(x + a) = g(x) für alle x ∈ ℝ. Zeigen Sie, daß die Folge g_{k}(x) = g(kx) für k → ∞ schwach in L^{p}(I) (I Intervall) gegen die konstante Funktion g_{∞}(x) = \frac{1}{a} ∫_{0}^{a} g(ξ)dξ konvergiert.

\underline{AUFGABE 4:} Sei φ ∈ L^{1}(ℝ^{n}). Zeigen Sie, daß die Diracfolge φ_{ϵ}(x) = ϵ^{−n}φ(\frac{x}{ϵ}) mit ϵ → 0 schwach∗ in C_{c}^{0}(ℝ^{n})′ gegen ein Vielfaches des Diracmaßes konvergiert.

\underline{AUFGABE 5:} In der Quantenmechanik werden Meßgrößen (Observablen) als lineare Operatoren A mit A = A^{∗} in einem Hilbertraum H aufgefaßt. Die Elemente Ψ ∈ H mit ∥Ψ∥ = 1 repräsentieren verschiedene Zustände des Teilchens, und man setzt

⟨A⟩ = ⟨AΨ, Ψ⟩ (Erwartungswert)
ΔA = ⟨(A − ⟨A⟩id)^{2}Ψ, Ψ⟩^{1/2} (Unschärfe).

Zeigen Sie (ΔA) · (ΔB) ≥ \frac{1}{2}|⟨[A, B]⟩|, wobei [A, B] = AB − BA.

Bearbeiten Sie bitte 4 der 5 Aufgaben. Vergessen Sie bitte nicht, Ihren Namen auf Ihre Lösungsblätter zu schreiben. Abgabetermin ist Montag, 20.12.1999.