Informationen zum Proseminar
Einführung in die p-adische Analysis
Sommersemester 2015

Dozentin: Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter
Tutorium: Dr. Oliver Bräunling

Termine

Studien/Prüfungsleistung

Achtung: Es gibt eine schon mehrfach aufgetretene Quelle der Verwirrung: Die Seitenangaben im Programm zum Buch von Gouvea beziehen sich auf die zweite Auflage. Über die Uni-Rechner ist diese Auflage als e-book verfügbar: Springer E-book (nur über die Uni-Rechner aufrufbar). Unsere Bibliothek hat das Buch auch in Papierform, allerdings nur in der ersten Auflage. Tatsächlich erscheinen die Unterschiede im Text eher gering, allerdings sind die Seitenzahlen geringfügig verschoben.
Generell ist es sicher eine gute Idee, sich eher an die zweite Auflage zu halten, schließlich bedankt sich Gouvea im Vorwort für all diejenigen, die ihn auf Druckfehler in früheren Drucken aufmerksam gemacht haben.

Programm

Einführung in die p-adische Analysis

Ankündigung:

Dieses Proseminar verknüpft Analysis und Zahlentheorie. Die Analysis fußt ganz wesentlich auf dem Begriff der $\varepsilon $-Umgebung $-$ Zahlen sind \nah", wenn ihre Differenz einen kleinen Betrag hat. Man kann allerdings auch ganze Zahlen \nah" nennen, wenn ihre Differenz durch eine hohe Potenz einer Primzahl $p$ teilbar ist. Ähnlich wie die reellen Zahlen aus den rationalen entstehen, indem man fordert, dass alle Cauchyfolgen konvergieren sollen, kann man die rationalen Zahlen auch erweitern, indem man dasselbe für diesen völlig anderen Begriff von $\varepsilon $-Umgebung fordert. Und genau dies sind die berühmten $p$-adischen Zahlen. Es gibt Folgen, die nicht in den reellen Zahlen konvergieren, aber in den $p$-adischen $-$ und sogar Folgen, die sowohl $p$-adisch wie auch reell konvergieren, aber mit unterschiedlichen Grenzwerten.

Ein Großteil der klassischen Analysis lässt sich auch für die $p$-adischen Zahlen entwickeln, und sehr vieles ist ganz ähnlich zur üblichen Analysis, und gleichzeitig doch auch ganz anders. Man muss sich selbst damit beschäftigen, um diese spannenden Phänomene wirklich verstehen zu können. Und genau dies wollen wir in diesem Proseminar tun.




Vorbesprechung:

Montag, 9. Februar 2015, 10-12 Uhr, Besprechungsraum Stochastik 10-12 Uhr




Anmeldung:

Teilnehmer-Liste bei Frau Frei (Raum 433)




Literatur:

Gouvea, Fernando Q. p-adic numbers. An introduction. Second edition. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1997
Unsere Bibliothek hat diese Auflage als e-book; in Papierform nur die erste Auflage (Achtung: leicht verschobene Seitenzahlen).

Robert, Alain M. A course in p-adic analysis. Graduate Texts in Mathematics, 198. Springer-Verlag, New York, 2000

Koblitz, Neal p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 58. Springer-Verlag, New York, 1984

Wir werden hauptsächlich dem Buch von Gouvea folgen.




Ablauf:




Vortragsliste:

(Die folgende Liste ist vorläufig)

  1. Allgemeine Absolutbeträge auf Körpern (Gouvea, 23-31 [beginnt mit dem Kapitel 2 "Foundations" und endet vor §2.3 Topology] / weiteres Material auch Robert 77ff)

  2. Ultrametrische Topologie und Bewertungsringe (Gouvea, 31-41 [beginnt mit §2.3 Topology und endet vor Kapitel 3] / weiteres Material auch Robert 37ff)

  3. Absolutbeträge auf $\QTR{Bbb}{Q}$, Satz von Ostrowski, Produktformel (Gouvea, 43-49 [beginnt mit Kapitel 3 "p-adic numbers" und endet vor §3.2 Completions] / weiteres Material auch Robert 85ff)

  4. Komplettierung von Körpern, Konstruktion von $\QTR{Bbb}{Q}_{p}$ (Gouvea, 49-59 [beginnt mit §3.2 Completions und endet vor §3.3 Exploring $\QTR{Bbb}{Q}_{p}$])

  5. Grundlegende Eigenschaften von $\QTR{Bbb}{Q}_{p}$, Kompaktheit/Lokalkompaktheit (Gouvea, 59-69 [beginnt mit §3.3 und endet vor §3.4])

  6. Polynome über $\QTR{Bbb}{Q}_{p}$, Hensels Lemma (Gouvea, 70-77 [beginnt mit §3.3 und endet vor §3.5 Local and Global] / weiteres Material auch Robert 45ff)

  7. Erste Ideen zu Global-Lokal Prinzipien, $p$-adische Fermat-Gleichung (Gouvea, 77-85 [beginnt mit §3.5 und endet vor Kapitel 4])

  8. Grenzwerte, Reihen, Differenzierbarkeit in $\QTR{Bbb}{Q}_{p}$ (Gouvea, 87-95 [beginnt mit Kapitel 4 und endet vor §4.3 Power Series])

  9. Potenzreihen in $\QTR{Bbb}{Q}_{p}$ (Gouvea, 95-102 [beginnt mit §4.3 Power Series und endet vor §4.4 Functions defined by power series]

  10. Durch Potenzreihen in $\QTR{Bbb}{Q}_{p}$ definierte Funktionen, Nullstellen (Strassman's Satz) (Gouvea, 102-111 [beginnt mit §4.4 und endet vor §4.5 Some elementary functions])

  11. Der $p$-adische Logarithmus und die $p$-adische Exponentialfunktion (Gouvea, 111-123 [beginnt mit §4.5 und endet vor den "binomial series"])
    [Kontrastierung mit den komplexen Versionen]

  12. Die $p$-adische Interpolation und die $p$-adische Gammafunktion (Koblitz, 88-91 + $p$-adische Interpolation)

  13. Von p-adischen Zahlen zu projektiven Limiten