Wie würden Sie den Begriff "Kurve" definieren? Als Beispiel: Einen Kreis
könnte man sowohl als Bild
von
oder aber auch als Nullstellenmenge von
im
definieren. Aber keine dieser Darstellungen ist besonders kanonisch. Allein
schon durch eine andere Wahl von Koordinaten im
würden wir völlig andere Formeln bekommen. Diese Probleme kann man
auf elegante Weise lösen, indem man einen anderen Blickwinkel einnimmt:
Auf einem geometrischen Gebilde kann man Funktionen betrachten, die (nach
sorgfältiger Begriffsbildung) einen Körper bilden. Entwickelt man
diesen Standpunkt, entpuppt sich schnell, dass es völlig genügt mit
einem abstrakten Körper zu arbeiten, dessen Elemente a priori rein gar
nichts mit Funktionen zu tun haben müssen, und dass "endlich erzeugte
Körper-Erweiterungen von Transzendenzgrad eins" eine erstaunlich
nützliche Definition für (normale algebraische) Kurven ist. In dem
Seminar werden wir die Geometrie von Kurven von diesem Standpunkt entwickeln.
Dieses Seminar richtet sich u.a. besonders an Lehramtsstudenten.
Lang, Serge Introduction to Algebraic and Abelian Functions, 2nd edition, 089 (GTM series), Springer, 1995
Lang, Serge Elliptic Functions, 2nd edition, 112 (GTM series), Springer, 1987
Lorenz, Falko Algebraische Zahlentheorie, Spektrum Akademischer Verlag, 1993
Rosen, Michael Number Theory in Function Fields, GTM series, Springer, 2002
Wir werden hauptsächlich Langs Buch "Introduction to Algebraic and Abelian Functions"folgen. Das Buch von Rosen, Kapitel 5-7, enthält z.T. ähnliches Material, aber anders aufbereitet.