\documentclass{assignment}


\begin{document}
\header{2}{07.05.2019}{14.05.2019}

\task Seien $V$ und $W$ endlich-dimensionale euklidische/unit\"are Vektorr\"aume,
und sei $f \colon V \to W$ eine orthogonale/unit\"are Abbildung.
Zeigen Sie: Es gibt Orthonormalbasen $v_1, \ldots, v_m$ von $V$, und $w_1, \ldots w_n$ von~$W$,
sodass die darstellende Matrix von~$f$ gerade die Matrix
\[
 \begin{pmatrix}
  1 & 0 & \ldots & 0 & 0 & \ldots & 0\\
  0 & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
  \vdots & & \ddots & 0 & \vdots & & \vdots \\
  0 & \ldots  & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0
 \end{pmatrix}
\]
ist. \hfill\textbf{(4P)}

\task Finden Sie eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren f\"ur
\[
 A =
 \begin{pmatrix}
  2 & 1 & 1 \\
  1 & 2 & -1 \\
  1 & -1 & 2
 \end{pmatrix}.
\rlap{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\text{\textbf{(4P)}}}
\]

\task Sei $V$ ein euklischer Vektorraum und $U \subset V$ ein Untervektorraum.
Sei $U^\perp$ das orthogonale Komplement, sodass $V = U \oplus U^\perp$.
Sei $p \colon V \to U$ die Projektion.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
 \item Zeigen Sie f\"ur alle $v \in V$ und $x \in U$, dass $||v - p(v)|| \le ||v - x||$.
 \item Sei $f \colon V \to V$ ein lineare Abbildung mit
  \begin{enumerate}
   \item $f(v) \in U$, f\"ur alle $v \in V$;
   \item $||v - f(v)|| \le ||v - x||$, f\"ur alle $v \in V$, $x \in u$.
  \end{enumerate}
  Zeigen Sie: $f = p$. (D.h.\ $p$ ist eindeutig festgelegt
  durch diese zwei Bedingungen.) \hfill\textbf{(6P)}
\end{enumerate}
\mynewpage

\task Geben Sie ein Beispiel f\"ur einen euklischen Vektorraum $V$
und einen orthogonalen Endomorphismus $f \colon V \to V$,
der nicht surjektiv ist. \hfill\textbf{(2P)}

\end{document}
