\documentclass{assignment}

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\def\id{\text{id}}
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\begin{document}
\header{9}{02.07.2019}{09.07.2019}
\thispagestyle{empty}

\task Sei $q \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ die quadratische Form
\[
 q(x,y,z) = x^2 - y^2 + 4xy + 6xz - 4yz.
\]
Berechnen Sie die darstellende Matrix der
eindeutig durch $q$ bestimmten symmetrischen Bilinearform
$\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$.
\hfill\textbf{(2P)}

\task Sei $M \in \mathrm{M}_3(\mathbb{F}_3)$ die Matrix
\[
 \begin{pmatrix}
  0 & 1 & 2 \\
  1 & 1 & 0 \\
  2 & 0 & 2
 \end{pmatrix}.
\]
Bestimmen Sie eine Orthogonalbasis f\"ur die symmetrische Bilinearform
$s(x,y) = x^t M y$ auf $\mathbb{F}_3^3$.
\hfill\textbf{(4P)}

\task Seien $V$, $W$, $U$ Vektorr\"aume \"uber einem K\"orper~$k$.
Sei $\mathrm{Bilin}_k(V,W; U) \subset \mathrm{Abb}(V \times W, U)$
die Menge der bilinearen Abbildungen.
\begin{enumerate}
 \item Zeigen Sie, dass
  $\mathrm{Bilin}_k(V,W; U) \subset \mathrm{Abb}(V \times W, U)$
  ein Untervektorraum ist.
 \item Geben Sie ein Beispiel (mit Beweis) von~$k$, $V$, $W$, $U$ und
  einer bilinearen Abbildung $s \colon V \times W \to U$,
  so dass das Bild von~$s$ kein Untervektorraum von~$U$ ist.
  \hfill\textbf{(6P)}
\end{enumerate}

\task Eine Bilinearform $s \colon V \times V \to k$
hei\ss{}t \emph{schiefsymmetrisch} (oder \emph{antisymmetrisch}),
wenn $s(v_1, v_2) = - s(v_2, v_1)$ gilt f\"ur alle $v_1, v_2 \in V$.
\begin{enumerate}
 \item Zeigen Sie, dass $s$ schiefsymmetrisch ist genau dann,
  wenn die darstellende Matrix~$A$ von~$s$ schiefsymmetrisch ist,
  d.h.\ $A = -A^t$.
 \item Sei $2 \ne 0$ in $k$.
  Zeigen Sie, dass jede Bilinearform $s \colon V \times V \to k$
  eine Zerlegung
  \[
   s = s_1 + s_2
  \]
  hat, wobei $s_1 \colon V \times V \to k$ eine symmetrische Bilinearform
  und $s_2 \colon V \times V \to k$ eine schiefsymmetrische Bilinearform ist.
  \hfill\textbf{(4P)}
\end{enumerate}

\end{document}
